Come scegliere una base per il kernel di una matrice?

Question

Non sono sicuro di come scegliere una base per il kernel di una matrice. Ho visto un video in cui qualcuno ha scelto per il kernel

$$\ker(A) = \ker\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

la base

$$ \mathcal B =\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\right\}$$

ma non capisco perché siano stati scelti quei vettori.

Usando il teorema di nullità di rango puoi concludere che ci sono due vettori lineari indipendenti che coprono il$\ker(A)$da${\rm rank}(A)=2$e$\dim(\ker(A))= n-{\rm rank}(A)=4-2=2$ma come scelgo quei vettori lineari indipendenti?

Qualcuno può spiegarmelo?

Answer 1

Suggerimento: hai già capito che il kernel ha dimensione 2. I vettori$x$nel kernel soddisfare$-x_1+x_2+x_4=0$e$4 x_3=0$.

Hai solo bisogno di trovare due vettori nel kernel che siano linearmente indipendenti. Formeranno una base del kernel.

Answer 2

Un approccio alternativo: le colonne di una matrice ti dicono quali sono le immagini dei vettori di base. Quindi puoi vedere che l'immagine del secondo vettore di base è meno l'immagine del primo, poiché la prima e la seconda colonna differiscono solo per il loro segno. Di conseguenza, la somma dei primi due vettori di base verrà mappata alla somma delle loro immagini, ovvero$0$. Allo stesso modo le immagini del secondo e del quarto vettore di base sono uguali. Quindi la loro differenza sarà mappata sulla differenza delle loro immagini, che è di nuovo$0$. E così hai due vettori linearmente indipendenti contenuti nel kernel:$b_1+b_2$e$b_2-b_4$.

Questo approccio non ti porterà lontano se il kernel è meno semplice (i suoi vettori di base hanno solo due componenti diversi da zero qui). Ma per alcune matrici semplici, puoi vedere rapidamente se funziona e quindi non è necessario risolvere un sistema di equazioni.