Come trovare l'ordine del gruppo dei moti rigidi dei solidi platonici in $\mathbb{R}^3$?
I seguenti appaiono come esercizi in Algebra di Dummit e Foote (Sezione $1.2$ - Gruppi diedri):
- Permettere $G$ essere il gruppo di movimenti rigidi in $\mathbb{R}^3$di un tetraedro. Dimostralo$|G| = 12$
- Permettere $G$ essere il gruppo di movimenti rigidi in $\mathbb{R}^3$di un cubo. Dimostralo$|G| = 24$
- Permettere $G$ essere il gruppo di movimenti rigidi in $\mathbb{R}^3$di un ottaedro. Dimostralo$|G| = 24$
- Permettere $G$ essere il gruppo di movimenti rigidi in $\mathbb{R}^3$di un dodecaedro. Dimostralo$|G| = 60$
- Permettere $G$ essere il gruppo di movimenti rigidi in $\mathbb{R}^3$di un icosaedro. Dimostralo$|G| = 60$
Da questa risposta ho dedotto che i movimenti rigidi sono isometrie che preservano l'orientamento, cioè le riflessioni non sono consentite.
Quindi, per un tetraedro, ho pensato agli assi di simmetria passanti per un vertice e al baricentro della faccia opposta. Esistono quattro assi di questo tipo (chiamiamoli$A,B,C,D$). Lungo ogni asse, possiamo definire$1_i, r_i, r_i^2$ come tre rotazioni con $r_i^3= 1$, l'elemento identità ($i=A,B,C,D$). Poiché ci sono quattro di tali assi,$|G| = 3\times 4 = 12$. Va bene o mi manca qualcosa? Sono leggermente preoccupato per il fatto che$1_A,1_B,1_C,1_D$ possono forse essere tutti uguali (dal momento che sono trasformazioni di identità), e che sto esagerando?
Domanda minore (deviazione): le trasformazioni di identità corrispondenti a diversi assi sono diverse o uguali?
Per il cubo, ho fatto quanto segue:
- Per ogni coppia di facce opposte, abbiamo un asse di simmetria. Ci sono$3$ tali coppie, quindi $3$ tali assi (diciamo $A,B,C,D$). Su ogni asse che definiamo$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ con $r_i^4 = 1$ dove $i=A,B,C,D$.
- Ci sono quattro diagonali del corpo (diciamo $E,F,G,H$), e su ogni diagonale (asse di simmetria) che definiamo $1,r_j,r_j^2$ con $r_j^3= 1$ dove $j=E,F,G,H$.
Alla luce dei calcoli di cui sopra, abbiamo $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
L'uso di questo metodo diventa difficile in seguito , per solidi più grandi. Non è facile identificare a mano tutti gli assi di simmetria. Inoltre, l'unico gruppo di cui ho imparato a conoscere in dettaglio a questo punto è$D_{2n}$, quindi per favore non fornire soluzioni come "il gruppo richiesto$G$ è isomorfo a un gruppo noto e ben studiato $X$e lo sappiamo $|X| = ?$ così $|G| = ?$"
Penso che si riduca ad avere un buon modo per contare tutti i movimenti rigidi distinti. Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo?
Mi sono imbattuto qui nelle soluzioni di James Ha , ma non capisco come le soluzioni presentate nel PDF siano equivalenti alle mie anche per i casi di tetraedro e cubo. Sarebbe bello se qualcuno mi aiutasse a vedere l'equivalenza e mi dicesse anche come procedere con gli altri solidi platonici! Molte grazie!
Risposte
Per aggiungere qualche elaborazione alle risposte esistenti e commenti aggiuntivi:
Come menzionato da orangeskid, puoi dedurre la dimensione del gruppo di simmetria dal numero di trasformazioni tra due bordi. Ecco un modo per vederlo più chiaramente:
Considera i bordi diretti sul poliedro, che consistono in un vertice e un bordo che emana da quel vertice (o, equivalentemente, un bordo con uno dei suoi estremi distinto). Se abbiamo$e$ bordi, quindi abbiamo $2e$di questi bordi diretti. Poiché stiamo usando i solidi platonici, ognuno di questi può essere trasferito a qualsiasi altro (questo segue abbastanza facilmente dalla maggior parte delle definizioni dei solidi platonici, ma dovrebbe essere piuttosto intuitivo).
Ma una volta che sappiamo che un bordo diretto $(v_1,e_1)$ va a un altro bordo diretto $(v_2,e_2)$, abbiamo completamente specificato la rotazione: una volta che ci muoviamo $v_1$ per $v_2$, abbiamo vincolato le possibili rotazioni a un unico asse attorno al quale le cose possono girare (dato che abbiamo un punto che ora è immobile), e solo uno di quei modi per ruotarlo si muoverà $e_1$ per $e_2$.
In particolare, ciò significa che una rotazione è specificata in modo univoco da dove prende un singolo bordo diretto; poiché ciascuno dei$2e$ possibilità dà una rotazione unica, ci deve essere $2e$ possibili rotazioni totali.
(Se permettiamo le trasformazioni di inversione dell'orientamento, ce ne sono il doppio; per ogni modo di portare un bordo diretto a un altro, otteniamo una seconda trasformazione che fissa quel bordo diretto riflettendo su di esso.)
Quanto alle trasformazioni di identità che fissano un asse, queste sono tutte la stessa trasformazione di identità; lasciano la forma inalterata.
Per chiarire più chiaramente i tipi di rotazioni (che preservano l'orientamento) possibili per ogni possibile solido platonico:
Per ogni solido platonico, le rotazioni possibili sono una rotazione non banale attorno a un vertice, a $180^\circ$ rotazione su un bordo, rotazione non banale su una faccia o trasformazione dell'identità.
Per il tetraedro, le facce sono vertici opposti, quindi ci sono $4\cdot (3-1)$ rotazioni vertice / faccia non banali, $1$ identità e $3$ edge-flip ($6$ bordi, ma due usati per capovolgimento), per un totale di $12$.
Per il cubo ci sono $8\cdot (3-1)/2$ rotazioni dei vertici, $6\cdot(4-1)/2$ rotazioni facciali, $12/2$ ribaltamenti di bordo e $1$ identità, per un totale di $24$.
Per l'ottaedro ci sono $6\cdot(4-1)/2$ rotazioni dei vertici, $8\cdot (3-1)/2$ rotazioni facciali, $12/2$ ribaltamenti di bordo e $1$ identità, per un totale di $24$.
Per il dodecaedro, ci sono $20\cdot(3-1)/2$ rotazioni dei vertici, $12\cdot(5-1)/2$ rotazioni facciali, $30/2$ ribaltamenti di bordo e $1$ identità, per un totale di $60$.
Per l'icosaedro, ci sono $12\cdot(5-1)/2$ rotazioni dei vertici, $20\cdot(3-1)/2$ rotazioni facciali, $30/2$ ribaltamenti di bordo e $1$ identità, per un totale di $60$.
Non c'è sostituto per tagliare quattro triangoli equilateri uguali dal cartone e fissarli insieme per formare un tetraedro. Dopo averlo fatto, metti un polpastrello al centro di un bordo e un altro polpastrello al centro del bordo opposto. Quindi ruota il tetraedro attorno all'asse che unisce la punta delle dita. Dovresti scoprire che a$180^\circ$la rotazione riporta il tetraedro su se stesso. Nella mia esperienza, questo è difficile da visualizzare finché non lo fai fisicamente.
Ci sono tre di queste coppie di bordi opposti e quindi tre di questi $180^\circ$rotazioni. Questi, insieme all'identità e otto rotazioni di$\pm120^\circ$ i vari assi che uniscono il baricentro di una faccia al vertice opposto rappresentano tutte le simmetrie rotazionali del tetraedro.
Gli altri solidi platonici hanno simili $180^\circ$rotazioni. Ma se vuoi solo contare, puoi fare qualcosa di più semplice. Inizia con una faccia del solido rivolta verso di te con orientamento fisso (ad esempio un bordo orizzontale). Se è un file$m$faccia di lato, ci sono $m$ bordi che possono essere quello orizzontale, e questi $m$gli orientamenti possono essere tutti ottenuti l'uno dall'altro ruotando attorno al centro del viso. Ora se il solido ha$f$ volti, uno qualsiasi dei $f$può essere portato nella posizione "di fronte a te" mediante una rotazione. Quindi dovrebbe esserci$mf$simmetrie rotazionali. Questo spiega tutto.
La risposta di orangeskid è simile, ma anche più semplice, di questa. Inizia con un bordo rivolto verso di te, orientato orizzontalmente. Lascia che il piano orizzontale contenente questo bordo sia tale da bisecare l'angolo diedro tra le due facce che si incontrano lungo quel bordo. (In altre parole, dal tuo punto di vista, queste due facce, che si allontanano da te, appariranno uguali.) Ora puoi eseguire$180^\circ$rotazione discussa sopra, ma puoi anche portare qualsiasi altro bordo del solido nella posizione "rivolto verso di te" mediante una rotazione. Quindi ci sono$2e$ simmetrie.
Per poliedri in $3$ spazio puoi mostrare che un bordo $a$ può essere portato su un altro bordo $b$ di $2$ trasformazione che preserva l'orientamento del solido (prendi uno, e poi può anche ruotare $b$). Se consideri tutte le trasformazioni, allora ci sono$4$ tali trasformazioni trasformazioni.
Perciò, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, dove $e$ è il numero di bordi di $S$.