Concettualizzare una soluzione a un problema di radiazione termica
Si prega di considerare questo problema di radiazione termica.
Preliminare / Sfondo: un corpo nero sferico B1 , come una stella, si trova in un ambiente senza altri oggetti termicamente attivi nelle vicinanze. Lo spazio ha una temperatura di 0 K. Il corpo ha reazioni interne (nucleari, diciamo) che fanno sì che la sua temperatura superficiale sia di 1000 K quando allo stato stazionario in questa impostazione . Un corpo nero sferico B2 simile (stesso raggio, massa, diffusività termica) , nella stessa impostazione , ha reazioni nucleari che fanno sì che la sua temperatura superficiale sia di soli 900 K.
Il problema: il corpo B1 è ora portato abbastanza vicino a B2 (diciamo che le loro superfici sono separate da una distanza di 2 volte il raggio) per stabilire una nuova condizione di stato stazionario. Ignora la gravità.
Come potrei calcolare le nuove temperature dei corpi dopo che hanno interagito termicamente? Ad esempio, quali altre informazioni sono necessarie? È intuitivo che le temperature di entrambi aumenterebbero dal caso in cui erano isolati ciascuno perché sono passati dall'interazione termica con un ambiente a 0 K a un ambiente in media superiore a 0 K (poiché l'ambiente di ciascuno ora include l'altro) . Supponiamo che le reazioni nucleari all'interno di ciascuna non siano influenzate dalla presenza dell'altra. Sono sicuro che sono necessarie più informazioni per calcolare la nuova temperatura di stato stazionario di ciascuno. Quali informazioni sarebbero? Se assumiamo una conducibilità termica quasi infinita in modo tale che ogni corpo si trovi a una temperatura uniforme, ciò renderà il problema più facile. Sembra chiaro che avremmo bisogno anche della capacità termica. Qualche idea su quali altre variabili sono necessarie e sulle equazioni che governano da risolvere?
Risposte
Assumi due corpi neri sferici a temperatura $T_1$ e $T_2$ con raggi costanti $r_1$ e $r_2$e conducibilità termica infinita. I due oggetti si irradiano inizialmente individualmente nello spazio vuoto a temperatura$T_{\mathrm{inf}}=0\,\mathrm{K}$. Assumendo uno stato stazionario, la generazione di calore corrispondente deve essere$$Q_i=4\pi r_i^2\sigma T_i^4$$ (corrispondente alla generazione di calore volumetrico di $3\sigma T_i^4/r_i$), dove $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann.
Supponendo che i due oggetti siano posizionati nella stessa regione a una distanza da centro a centro $d>>r$, ogni oggetto $i$ riceve ora un flusso aggiuntivo in entrata di circa $a_{ij}\sigma T_j^4$ da un angolo solido di $a_{ij}=A_j/4\pi d^2=r_j^2/4 d^2$, dove $A_j$ è l'area della sezione trasversale dell'oggetto $j$. Il nuovo bilancio energetico è quindi adesso$$4\pi r_i^2\sigma T_i^{\prime 4}= 4\pi r_i^2\sigma T_i^4+ r_i^2r_j^2 \sigma T_j^{\prime 4}/d^2,$$
dove le nuove temperature di equilibrio $T_i^{\prime}$ e $T_j^{\prime}$ può essere trovato in modo iterativo, ad esempio.
Il caso di $d$ comparabile a $r$richiede un fattore di visualizzazione più complesso, generalmente ottenuto da una tabella di valori o da un adattamento empirico, come discusso qui .