Confronto di insiemi di numeri primi gemelli con altri insiemi. Perché c'è un valore massimo e minimo?
Ho preso 2 set: il primo è un elenco consecutivo del primo numero primo di coppie gemelle. Il secondo è un elenco consecutivo di numeri come segue 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ....
Ho quindi confrontato le liste dividendo i numeri della seconda lista con i numeri della prima lista, e si verifica un tasso di crescita costante della distribuzione (come si vede nelle immagini sotto).
Se analizzi i dati (come si vede nelle immagini sotto), noterai che:
Se la fluttuazione della colonna E è troppo alta (normalmente superiore a 1,1), la coppia doppia "successiva" dovrà essere più piccola della coppia "corrente:", producendo così un errore.
Puoi anche notare che la fluttuazione della colonna E non è mai troppo bassa (probabilmente non inferiore a 0,99 dopo le prime centinaia).
Lo stesso fenomeno si verifica se sostituisco la colonna C con i quadrati 1,4,9,16, ... o con un polinomio quadratico arbitrario.
Quando si sostituisce la colonna C con una costante uguale a 1, il valore massimo non supera mai 1 (ovviamente). Tuttavia, dopo le prime centinaia, il valore minimo di nuovo probabilmente non è inferiore a 0,99
Qualcuno può fornirmi una spiegazione teorica del motivo per cui potrebbe essere?
Elenco dei primi 100.000 con colonna C: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
Elenco dei primi 100.000 con colonna C: con i quadrati 1,4,9,16,25 ...
Elenco dei primi 100.000 con colonna C: costante = 1
Grazie.
Risposte
Qual è la motivazione di questo groviglio di calcoli?
Permettere $B_2=3,B_3=5,\cdots $sii la tua sequenza di "primo membro di una coppia gemella prime". Per qualche motivo a partire da index$2.$ Non sappiamo che questa sia una sequenza infinita ma sospettiamo fortemente che sia con $B_n \approx k n (\ln n)^2$ per qualche costante $k.$ Ci sono congetture su $k$ma questo non importa qui. Quindi per una spiegazione plausibile possiamo dirlo$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ è decisamente maggiore di $1$ma avvicinandosi a un ritmo medio costante. Forse con$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ Oppure, per essere particolarmente avventato, $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
I numeri $E_n$ stai analizzando sono esattamente $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ quindi c'è la tua spiegazione del perché a volte sono sopra $1$ e talvolta sotto, con convergenza a $1.$
Digressione: dopo le prime poche coppie, ogni membro della sequenza è $11,17$ o $29 \bmod 30.$Forse questo introduce un po 'di groviglio. Non lo so. Potresti controllare se l'over vs under$1$ il comportamento è correlato alla classe di congruenza $\bmod 30$ essere $11$ vs $17$ o $29.$ In tal caso, questo comportamento sembra continuare o estinguersi?
La sequenza $C_1=1,C_2=3,\cdots $ di numeri triangolari ha $C_n=\frac{n(n+1)}2$ così $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ Esattamente.
Tu definisci $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ e poi, per $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
Se invece di numeri primi gemelli hai usato numeri primi, con $p_n \approx n\ln n,$i risultati dovrebbero essere più o meno gli stessi, possibilmente meno instabili. Se invece di numeri triangolari usassi i quadrati avresti$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ che è molto vicino a $\frac{n-1}{n+1}$
Gli ulteriori passaggi di aggiunta di termini successivi di una colonna precedente o di prendere rapporti danno sequenze che convergono a uno o crescono simili $n.$