Densità di Borel fissata a 0
Il teorema di densità di Lebesgue dice che se $E$ è un insieme misurabile di Lebesgue, quindi la densità di $E$ in quasi ogni elemento di $E$ è 1 e la densità di $E$ in quasi tutti gli elementi non presenti $E$ è 0.
Tuttavia, è vero che per ciascuno $t$ rigorosamente tra 0 e 1, c'è un set Borel $E$ che ha densità $t$ a 0?
Non ho idea di come costruire un tale insieme per un valore casuale di $t$. Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.
Risposte
Sì. In dimensione$\geq 2$ questo è banale, quindi presumo che stiamo guardando la linea reale.
Dato un $n>0$ e $\alpha\in [0,1]$, mettere $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ e $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.
Mettere $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Quindi la densità di$U_{n,\alpha}$ a $0$ è esattamente $\alpha$. Per vedere questo, scrivi$m_r$ per $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ e nota che:
- Se $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, poi $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
- Se $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, poi $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
- $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
- $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.
Suggerimento: lascia $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Permettere $L_n$ essere la lunghezza di $I_n.$ Fuori da $I_n$ scegliamo un sottointervallo
$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$
$J_n$ è un "$t$-bite "di $I_n.$ Impostato $E=\cup J_n.$ Se sto pensando a questo diritto, avremo
$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$
Considera una sequenza di numeri $r_n \searrow 0$ tale che $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Permettere$\theta$ essere una misura che preserva la mappa da $(0,r_1]$ per $\mathbb R^2$ quello prende $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ per $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Allora lascia$A$ essere un "pezzo di torta" centrato all'origine in $\mathbb R^2$, con angolo $\alpha$all'angolo. Poi$\theta^{-1}(A)$ sarà un insieme con densità $\alpha/(4\pi)$ a $0$.
Questo darà densità $0 \le t \le \frac12$. Ottenere$\frac12 < t \le 1$, aggiungi semplicemente $(-\infty,0]$.