Diagrammi a nodi non alternati
(L'ho chiesto su MSE qualche giorno fa senza una chiara risoluzione.)
Inizia con una curva chiusa e autointersecante, dove ogni incrocio è trasversale. Ora forma qualcosa come l'opposto di un diagramma a nodi alternati come segue. Partendo da qualsiasi punto, attraversa la curva e, ad ogni incrocio precedentemente non visitato, vai sopra/sopra. Se l'incrocio è stato visitato in precedenza, lasciare la designazione dell'incrocio assegnata.
Di seguito sono riportati due esempi. (a) è chiaramente lo scioglimento del nodo. (b) è anche lo snodo, forse non così ovvio.

Il cerchio rosso indica il punto di partenza, la freccia la direzione di attraversamento.
Mi aspettavo che questi diagrammi rappresentassero ovviamente lo snodo, ma non vedo una prova chiara. Così:
D. _ Dimostrare (o smentire) che un tale diagramma di nodi rappresenta sempre lo scioglimento del nodo.
Risposte
Parametrizziamo la curva piana di$\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$e assumere$\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. Quindi la tua curva è il diagramma dei nodi del nodo che è parametrizzato da$K:[0,2]\to\mathbb R^3$dato da$$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(essenzialmente, immagina di sospendere il tuo nodo su un bastone, in modo tale che la corda scenda a una velocità uniforme.) Quindi possiamo "srotolare" questo nodo. Vale a dire, da allora$\gamma$passa solo$(0,0)$agli estremi, possiamo scrivere$\gamma(t)$in coordinate polari di$(r(t),\phi(t))$insieme a$r,\phi$continuo acceso$(0,1)$. Possiamo quindi sciogliere il nodo$K$dalla seguente sequenza di nodi$K_s$, che inizia con un nodo e finisce con$K$, scritto in coordinate cilindriche:$$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$