Dimostralo $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ può essere scritto come $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
Ho letto il seguente link sulla definizione del Brownian Bridge e mi sono imbattuto nella seguente affermazione (punto 9 nel link sopra):
Supponiamo $W_t$ è un moto browniano standard, definisci $X_1=1$, quindi, per $h \in [0,1]$, il processo $X_t$ è un ponte browniano:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
Posso effettivamente capire la prova di questa affermazione presentata nel link sopra e non ho alcun problema con l'affermazione che $X_t$sopra c'è un ponte browniano. Tuttavia, l'autore prosegue affermando che:
"In forma differenziale, quanto sopra può essere scritto come:"
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
In realtà non sono in grado di collegare la forma differenziale con l'equazione (1) data per $X_t$.
Quando riscrivo la forma differenziale nella notazione "a mano lunga", ottengo ($X_0:=0$):
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Quanto sopra chiaramente non è lo stesso della precedente definizione di $X_t$dato nell'equazione (1). Penso che potrebbe esserci un'applicazione del lemma di Ito per una funzione definita in modo intelligente$F(X_t,t)$, che non sono stato in grado di capire (ho provato a giocare con varianti di $F(X_t,t):=X_te^t$, ma inutilmente).
C'è un modo per "risolvere" l'equazione differenziale (2) in (1), o l'autore ha fatto un errore di battitura?
Modifica : dopo aver letto la risposta collegata nel commento qui sotto, e nello spirito della mia risposta sulla notazione a un'altra domanda qui , ho tentato di riscrivere la risposta collegata usando la notazione a mano lunga (perché faccio fatica a interpretare alcuni passaggi della risposta in notazione a mano corta):
Ricevo ancora una risposta sbagliata. Potresti aiutarmi a individuare dove sto sbagliando? .
Il "trucco" nella risposta collegata sembra essere l'applicazione del lemma di Ito a una funzione $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$. I derivati sono:
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
Abbiamo anche quello:
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ così che:
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
Moltiplicando per $1-t$ poi dà:
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
Quindi abbiamo:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
Concentrandosi sul termine $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$, possiamo scrivere:
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
Si noti che il termine tra parentesi sopra, ad es $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$infatti non è uguale a$X_h$ (come definito nell'equazione (1)), quindi in realtà non abbiamo che:
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Risposte
Permettere $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$. Quindi dai un'occhiata
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
e differenziare usando il lemma di It ^ o
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
e quindi c'è davvero un errore di battitura.
Se vuoi risolvere
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
quindi (come nelle ODE) usa il fattore di integrazione
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
per risolvere SDE
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
per soluzione
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
Nota di cautela: non applicare il lemma It ^ o per risolvere SDE. Questo funziona solo nel caso in cui ammetta una soluzione forte (cfr. Oksendal, Capitolo 5).