Dimostrare che non esistono soluzioni intere per $x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$
Ho lottato su questo problema per un bel po 'di tempo, l'ho chiesto ad alcuni miei colleghi e insegnanti, e devo ancora trovare la soluzione. Ecco il problema:
Dimostra che non esistono soluzioni intere per l'equazione $$x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$$
Ecco cosa ho provato:
- Espandere, spostare le cose, fattorizzare (non sono stato in grado di trasformarlo in qualcosa di utile)
- Espansione, conversione in un'equazione cubica (troppo difficile da risolvere)
- Espandendo, convertendo in un quadratico, usando la formula quadratica (non sono riuscito a semplificarlo abbastanza)
Sarebbe fantastico se voi ragazzi poteste aiutare!
Cordiali saluti, Anay Aggarwal
Risposte
Riscrivere l'equazione come $y/x=x(y^2-1)-2y$, vediamo che dobbiamo avere $x\mid y$(poiché il lato destro è un numero intero). Quindi lasciare$y=xu$ (con $x\not=0$), noi abbiamo
$$u=x(x^2u^2-1)-2xu$$
il che implica $x\mid u$ e $u\mid x$, così $u=\sigma x$ con $\sigma=\pm1$. Ma questo dà
$$\sigma x=x(x^4-1)-2\sigma x^2$$
che semplifica (cancellando un file $x$) per
$$x^4-2\sigma x-1-\sigma=0$$
e nessuno dei due $x^4-2x-2=0$ né $x^4+2x=0$ ha qualsiasi radice intera (diversa da zero).
Beh, non puoi avere $x=0$ quindi moltiplica per $x$ ottenere $$x^2(y^2-1)=y(2x+1)$$
Allora o l'hai fatto $y=\pm 1$ [o $y=0$] (che puoi escludere) o il lato sinistro è positivo.
Ora confronta i termini in $x$ su entrambi i lati (attento $2x+1$ può essere negativo) e i termini in $y$ su entrambi i lati (con la stessa cura).
Ci viene dato $x(y^{2}-1)=y\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$ con $x,y\in\Bbb Z$. La presenza del$1/x$ termine implica $x\neq0$ e quindi $y\neq0$. Moltiplicando per$x$ dà $$x^2(y^2-1)=y(2x+1).$$Nota che $2x+1$è strano. Quindi$y$ non può essere strano, perché allora $y^2-1$sarebbe pari e la nostra equazione equiparerebbe un numero pari a un numero dispari. Così$y$è anche. Quindi$x^2$ è pari, e quindi è così $x$. Ne consegue che$y$ è divisibile per $4$. Poi$|(y^2-1)/y|=|y-1/y|>3$, mentre $|(2x+1)/x^2|=|2/x+1/x^2|<2$. Di conseguenza la nostra equazione non può essere soddisfatta.
Benvenuto in MSE. Puoi risolvere per$y$ utilizzando la formula quadratica: $$ y = \frac{2x+1\pm\sqrt{4 x^4+4 x^2+4 x+1}}{2 x^2} $$Ringraziamo JW Tanner per aver salvato questa risposta. Per$x\ge 1$, $4x^4+4x^2+4x+1$ è tra $(2x^2+1)^2$ e $(2x^2+2)^2$, quindi la sua radice quadrata non è un numero intero. Allo stesso modo, per$x\le-1$, è tra $4x^4$ e $(2x^2+1)^2$e possiamo escludere il caso $x=0$nell'equazione originale. Quindi non ci sono soluzioni intere.
abbiamo
$$xy^2-x = 2y+\frac{y}{x}$$ $$x^2y^2-x^2=2xy+y$$ $$x^2y^2-x^2-y-2xy = 0$$ Risolvi come un quadratico in $x$
$$(y^2-1)x^2-(2y)x-y = 0$$
Usa la formula quadratica
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^2+(4y^3-4y)}}{2(y^2-1)}$$
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^3+4y^2-4y}}{2y^2-2}$$
Possiamo escludere a $2$ ottenere
$$x = \frac{y\pm \sqrt{y^3+y^2-y}}{y^2-1}$$
Dai un'occhiata alla radice quadrata, l'unica radice razionale è $y = 0$ (da RRT), ma testando questa soluzione, $x = 0$e la prima espressione ha un $\frac{y}{x}$ in esso, e ovviamente dividendo per $0$ è illegale in questo caso.
Un altro modo per vederlo $y = 0$ è l'unica radice razionale è fattore
$$y^3+y^2-y = y(y^2+y-1)$$
Poi $y^2+y-1$ non ha radici razionali.
Pertanto, non esistono soluzioni intere.
Mentre dici che rappresentare graficamente in realtà non fornisce una prova, potrebbe aiutare a riconoscere dove le cose sono interessanti. Se rappresentiamo graficamente l'equazione a Desmos, otteniamo:
https://www.desmos.com/calculator/tplmejuuj0
Questo grafico rende evidente che non ci sono soluzioni intere diverse da $(0,0)$, che dobbiamo eliminare perché non possiamo avere $x=0$. Ma come dimostrarlo? Penso che una prova per contraddizione sia la nostra migliore scommessa.
Assumere $x, y \in \mathbb Z $. Quindi il lato sinistro$x(y^2-1)$ è sempre un numero intero.
Lo sappiamo già $x \neq 0$
Per prima cosa, considera $x = \pm 1$. abbiamo$y^2 - 1 = 3y$ o $1-y^2=y$. Nessuno dei due$y^2-3y-1$ né $y^2+y-1$ ha una radice razionale (Con il teorema della radice razionale, $y$ può solo essere $\pm 1$, e nessuna delle due scelte ci dà uno zero).
Secondo, considera $x$è qualsiasi altro numero intero. Perciò$2+1/x$non è un numero intero. Poiché sappiamo che il lato sinistro deve essere un numero intero, perché anche il lato destro sia un numero intero,$y$ deve essere un multiplo intero di $x$, o $y=kx, k \in \mathbb Z$. In tal caso abbiamo:
$$ x(k^2x^2-1) = 2kx +k $$ $$ k^2x^3-x = 2kx+k $$ $$k^2x^3-2kx -x-k = 0 $$
Per il teorema della radice razionale, qualsiasi radice intera deve essere una di $\{\pm1,\pm k,k^2\}$. Poiché nessuna di queste radici rende il lato sinistro uguale a zero per intero$k$, non ci sono radici intere per $|x| > 1$.
Abbiamo eliminato tutte le possibili soluzioni intere per $x$. Quindi non c'è soluzione con$x,y \in \mathbb Z$.
Un po 'complicato, ma spero che aiuti.