Domanda sul gioco d'azzardo
Esercizio 4.21: In una partita vinci \ $ 10 con probabilità $ \ frac {1} {20} $ e perdi \ $ 1 con probabilità$\frac{19}{20}$. Approssimativamente la probabilità di perdere meno di $ 100 dopo le prime 200 partite. Come cambierà questa probabilità dopo 300 partite?
Tentativo :
In primo luogo, mostriamo le vincite e le perdite insieme in una singola variabile. Definisci \ begin {equation *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {equation *} dove $ W_n $ denota le vincite dopo $ n $ giochi e $ S_n $ definisce il numero di vincite in $ n $ giochi. Quindi, \ begin {equation *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {equation *} Ora applichiamo il Teorema del limite centrale in entrambi i casi, con valori diversi di $ n $ .
Sia $ n = 200 $ , quindi $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . Quindi desideriamo $ S_n> \ frac {100} {11} $ . Inoltre, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ e Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Quindi, segue da CLT con la correzione di continuità che \ begin {equation *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ approx 1 - \ Phi (-0.457169) \ approx 0.6772. \ end {equation *}
Ora, il libro fornisce una risposta diversa per il primo caso di 200 giochi, che è di 0,5636. Vorrei capire il mio errore prima di passare al caso successivo
Intuitivamente questo ha anche senso poiché la condizione di $ S_n> \ frac {100} {11} $ dovrebbe essere vicino alla parte superiore della curva a campana della distribuzione normale, poiché il valore atteso di 10 è vicino a $ \ frac {100} {11} $ . Tuttavia, per tutta la vita non riesco a individuare l'errore nel mio calcolo.
(L'altra domanda di Math Stack Exchange per queste domande non ha chiarito nulla essenzialmente per me, quindi questo post.)
Perdere meno di $ 100 in un gioco d'azzardo.
Risposte
Se $X$ è il numero casuale di vittorie in $n$ giochi, quindi $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ e la variabile casuale vincita / perdita netta è $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ Così $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Quest'ultima espressione è dovuta al fatto che $X$non può assumere valori frazionari. Di conseguenza,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ Questa è la probabilità esatta: l'unica approssimazione qui è nell'arrotondamento della frazione al decimale.
Ciò fornisce anche una visione chiave del motivo per cui la tua risposta non è corretta: solo perché stai usando un'approssimazione normale con correzione di continuità non significa che $W$ che si desidera includere nella probabilità desiderata può essere al di fuori dello spazio campionario per $W$.
Ad esempio, se $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$, e te lo chiedo $\Pr[U < 225.999]$, dovresti prima scrivere $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, quindi si applica la correzione della continuità per approssimarla come$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$Lo stesso vale qui; così$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Evidentemente, il tuo testo viene arrotondato prima di completare il calcolo, oppure utilizza una normale tabella di ricerca standard senza interpolazione, poiché $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. In ogni caso, l'approssimazione$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ devia troppo.