Domanda sulla prova che $(D(f),\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)})\cong (\operatorname{Spec}A_f,\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f})$
Sto cercando di dimostrare / capire perché $(D(f),\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)})\cong (\operatorname{Spec}A_f,\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f})$. Questo problema appare nelle note di geometria algebrica di Vakil come problema 4.3.B.
Lo so da allora $D(f)=\{P\in\operatorname{Spec}A\mid f\not\in P\}$, possiamo identificare $D(f)$ e $\operatorname{Spec}A_f$. Quindi lascia$\pi:D(f)\rightarrow \operatorname{Spec}A$ essere la mappa naturale.
Ora vorrei mostrarlo $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f}\rightarrow \pi^*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)}$è un isomorfismo di covoni. Il suggerimento dato è di notare che distinti insiemi aperti di$\operatorname{Spec}A_f$ sono già distinti open set in $\operatorname{Spec}A$.
Se consideriamo $D(g/f^n)=\{P\in\operatorname{Spec}A_f\mid g/f^n\not\in P\}$, allora come possiamo pensare a questo come un distinto open set in $\operatorname{Spec}A$? Non ha senso chiedere se$g/f^n$ non è in un ideale primo di $A$. In realtà sta dicendo che l'ideale primo corrispondente di$A$ non contiene $g$?
Inoltre, lo so $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f}(D(g/1))$ è la localizzazione di $A_f$ è la localizzazione di $A_f$ a tutti gli elementi che non svaniscono al di fuori di $V(g/1)$. Cioè, la localizzazione di$A_f$ a $\{a/f^n\in A_f\mid D(g/1)\subset D(g/f^n)\}$.
E come lo descriviamo $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)}(D(g))$?
Come posso risolvere questo problema / vedere l'isomorfismo?
Risposte
C'è molta confusione nel tuo post: così com'è, il tuo morfismo dei covoni proposto non ha alcun senso. La mappa che consideri non dovrebbe essere l'incorporamento$\pi \colon D(f) \to \mathrm{Spec}(A)$, ma piuttosto l'incorporamento $\mathrm{Spec}(\alpha) \colon \mathrm{Spec}(A_{f}) \to \mathrm{Spec}(A)$ indotto dalla canonica mappa di localizzazione $\alpha \colon A \to A_{f}$. Come noti,$\pi := \mathrm{Spec}(\alpha)$ è un incorporamento aperto la cui immagine è $D(f)$, quindi possiamo vederlo come un isomorfismo di spazi topologici $\mathrm{Spec}(A_{f}) \to D(f)$.
Passando ai covoni, lasciatemi ricordare cos'è il covone $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}$è. Per qualsiasi open set$U \subset D(f)$, $U$ è anche un insieme aperto di $\mathrm{Spec}(A)$e per definizione abbiamo $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}(U) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(U)$. La chiave, quindi, è capire quale distinto si apre$\mathrm{Spec}(A)$ sono contenuti in $D(f)$- Ne parleremo a breve. Inoltre, la mappa$\pi$ viene fornito con un morfismo associato di covoni $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$, che nelle sezioni globali è $\alpha$e sulle aperture distinte è la mappa di localizzazione (indotta). Il corrispondente morfismo dei covoni$\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$ è indotto da $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$in modo ovvio; nelle sezioni globali, è la mappa dell'identità$A_{f} \to A_{f}$, da $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}(D(f)) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(D(f)) = A_{f}$, e $\pi^{-1}(D(f)) = \mathrm{Spec}(A_{f})$.
Non resta che capire perché $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$ è un isomorfismo di covoni $D(f)$. È sufficiente verificarlo sulla base della topologia$D(f)$, che è dato dalle distinte aperture di $\mathrm{Spec}(A)$ contenuto in $D(f)$. Una volta stabiliti i dettagli di cui sopra, ecco una guida all'approccio, che lascio a voi.
(1) In primo luogo, mostra che abbiamo un contenimento di aperture distinte $D(g) \subset D(f)$ se e solo se $f$ è un'unità di $A_{g}$. (Questo è l'esercizio 3.5F di Vakil - vale davvero la pena farlo, se non l'hai ancora fatto.)
(2) Successivamente, mostralo $\pi^{-1}(D(g)) = D(\alpha(g)) = D(g/1)$ per ogni $g \in A$. (Non c'è niente di speciale in$\pi$ ecco, per intenderci: per qualsiasi morfismo di anelli $u \colon A \to B$ e qualsiasi $g \in A$, uno ha $\mathrm{Spec}(u)^{-1}(D(g)) = D(u(g))$.)
(3) Infine, mettiamo insieme le cose. Permettere$D(g)$ essere un distinto open di $\mathrm{Spec}(A)$ che è contenuto in $D(f)$, che da (1) garantisce che $f$ è un'unità in $A_{g}$. abbiamo
$$\pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}(D(g)) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}(D(\pi(g))) = (A_{f})_{g/1}$$
e
$$\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}(D(g)) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(D(g)) = A_{g}$$.
La mappa $A_{g} \to (A_{f})_{g/1}$ è la mappa universale indotta da $\alpha \colon A \to A_{f}$. Il tuo compito è mostrare che questa mappa$A_{g} \to (A_{f})_{g/1}$è un isomorfismo, che lascio a voi. (Userei la proprietà universale della localizzazione per ottenere una mappa$(A_{f})_{g/1} \to A_{g}$. Lo userai$f$ è invertibile in $A_{g}$ per ottenere una mappa $A_{f} \to A_{g}$ primo.)