Dove finisce l'integrazione?
sono nuovo agli integrali. Sto risolvendo$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ma ottengo una risposta sbagliata:$$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$La risposta corretta dovrebbe essere:$$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Ecco la mia prova completa:$$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Puoi correggermi e darmi qualche fonte da cui imparare?
Grazie in anticipo!
Risposte
Hai ragione fino al passaggio (incluso):
$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$
Stai applicando erroneamente il fatto che
$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$
Notare che deve essere${1+x^2}$- no ${1+ax^2}$. Invece, dovresti quindi fare la sostituzione${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ottenere
$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$
Come richiesto.
Dato,$$\int \frac{1}{2x^2+6}$$
Lo sappiamo,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$
Così,
$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$Qui,$a=1$e$u=\frac{x}{\sqrt3}$e$du=\frac{dx}{\sqrt3}$,
cioè,$dx={\sqrt3}du$
Quindi la nostra risposta desiderata è,
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$
$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$
$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$
Ricollegando la nostra sostituzione ai rendimenti integrali
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$
Quindi ora ci resta
$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$
Poiché questo è un integrale indefinito, dobbiamo scrivere la nostra risposta in termini di x. Guardando indietro alla nostra sostituzione e riorganizzazione per theta, arriviamo alla nostra risposta finale:
$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$
Il tuo problema sta nell'uguaglianza finale. Se$F(x)$è una primitiva di$f(x)$, e se$c\ne0$, quindi una primitiva di$f(cx)$sarà$\frac1cF(cx)$. Quindi, da allora$\arctan(x)$è una primitiva di$\frac1{1+x^2}$, una primitiva di$\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$sarà$\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.
Sostituto$x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$