È$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$isomorfo a$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$o$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Question

È$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$isomorfo a$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$o$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Penso$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$perché il primo non è un campo poiché ($x^{2} + 2x + 1$) è riducibile, ma quest'ultimo è un campo poiché$(x^{2}+1)$è irriducibile. È corretto?

Non sono sicuro del secondo squillo.

Answer 1

Sì, hai ragione sulla prima. Un modo per dimostrarlo anche$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$è da notare che$(x+1)^2 = 0$in$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$mentre il quadrato di qualsiasi elemento diverso da zero di$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$è diverso da zero, quindi non possono essere isomorfi.