Esiste una funzione biiettiva $f:[0,1] \to [0,1]$ tale che il grafico di $f$ in $\mathbb{R}^2$ è un sottoinsieme denso di $[0,1] \times [0,1]$?
Esiste una funzione biiettiva$f:[0,1] \to [0,1]$tale che il grafico di$f$ in $\mathbb{R}^2$è un sottoinsieme denso di$[0,1] \times [0,1]$? (Esattamente come il titolo).
Penso che la domanda non sia influenzata molto se poniamo la stessa domanda ma per una funzione $f:(0,1) \to [0,1]$ o $f:[0,1) \to (0,1]$ ecc, al contrario di $f:[0,1] \to [0,1]$, che era nella domanda originale. Tutto ciò che conta davvero è che il dominio e l'intervallo siano sottoinsiemi limitati e connessi$\mathbb{R}^2$.
Sospetto che la risposta alla domanda sia sì, ma non so come costruire una tale funzione.
La prima cosa da notare è che, se tale funzione esiste, non deve essere continua da nessuna parte, altrimenti il grafico di f non sarebbe denso per tutto $[0,1] \times [0,1]$. Tuttavia, non è chiaro se il grafico della nostra funzione sarebbe un sottoinsieme totalmente disconnesso di$[0,1] \times [0,1]$.
Una funzione continua da nessuna parte può avere un grafico connesso?
In realtà non ho letto le risposte alla domanda di cui sopra in dettaglio, e comunque, potrebbe non essere rilevante rispondere alla domanda qui (anche se potrebbe).
Il mio tentativo:
Permettere $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $essere la funzione base 13 di Conway , ma con dominio limitato a$(0,1)$. Ora definisci$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ con dominio $(0,1)$ e gamma $(0,1)$. Quindi la funzione è ben definita e il grafico di$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ è un sottoinsieme denso di $[0,1] \times [0,1]$. Ora possiamo modificare facilmente la nostra funzione$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ in modo che abbia dominio $[0,1]$ e gamma $[0,1]$, e presumo che il lettore possa farlo lasciando i dettagli per brevità. Ma il punto è che questi due punti mancanti nel dominio,$0$ e $1$, non sono un problema.
Il problema è che la nostra funzione non è iniettiva.
Nota che non possiamo rispondere alla domanda rimuovendo solo i punti dal grafico di $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, poiché in tal caso rimuoveresti molti punti dal dominio, quindi questa non sarebbe una funzione con dominio $(0,1)$. Quindi forse fare qualcosa di intelligente per$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, o forse è necessario trovare un modo completamente diverso per costruire una funzione per rispondere alla domanda.
Risposte
Per semplicità lavorerò $[0,1]\times [0,1].$ La parola "numerabile" di seguito significherà "numerabile infinito".
Lemma: esiste una raccolta disgiunta a coppie $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ di sottoinsiemi di $(0,1)$ tale che ciascuno $D_n$ è numerabile e denso $(0,1).$
Prova: Let $p_1,p_2,\dots$essere i numeri primi. Per ciascuno$n,$ definire $D_n$ essere l'insieme dei rapporti $j/p_n^k,$ dove $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ e $j,p_n$sono relativamente prime. Mi fermo qui, ma fai domande se vuoi.
Definisci ora una raccolta doppiamente indicizzata di intervalli aperti $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ dove $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ Possiamo ordinare linearmente questi intervalli come $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ In questo ordine denotiamo semplicemente gli intervalli come $J_1,J_2,\dots.$
Per ciascuno $n,$ il set $D_n\cap J_n$ è un sottoinsieme denso numerabile di $J_n.$ Nota che la raccolta $\{D_n\cap J_n)\}$ è a coppie disgiunto.
Adesso per $n=1,\dots,$ definire $f:[0,1]\to [0,1]$ definendo $f:J_n\cap D_n \to D_n$per essere qualsiasi biiezione che ti piace. Per ottenere la biiezione completa, nota che$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ è $[0,1]$meno un insieme numerabile. Così è$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ Questi insiemi hanno quindi la cardinalità di $[0,1],$quindi c'è una biiezione tra di loro. Permettere$f$sia questa biiezione tra questi insiemi. Adesso$f$ è una biiezione completa di $[0,1]$ per $[0,1].$
Per mostrare la densità, lascia $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ Poi per alcuni grandi $n$ (ora risolto), $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ E da allora $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ un denso sottoinsieme di $(0,1),$ lì esiste $x\in J_n\cap D_n$ tale che $f(x)\in (c,d).$ Così $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ Questo mostra il grafico di $f$ è denso $[0,1]\times [0,1].$
Sì, quello che puoi fare è costruire una funzione iniettiva $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ il cui grafico è denso di $[0,1] \times [0,1]$ e quindi estendi il dominio di $f$ per $\mathbb [0,1]$ in un modo che fa $f$ una biiezione (questo è fattibile poiché ci sono $|\mathbb R | $ punti in $[0,1]$ non già nell'immagine di $f$).
Ad esempio, On $\mathbb Q \cap [0,1]$ potresti lasciare $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
Sia S (x, n) = (2x + 1) / (2 ^ (2n + 1)).
Sia R (x, n) floor (x / (2 ^ n)) + (2 ^ n) (x mod 2 ^ n) (informalmente, scambia le due metà dell'espansione binaria di x).
Sia f (b) = S (R (x, n), n) se esistono x, n (che, abbastanza banalmente, devono essere univoci) tali che S (x, n) = be b altrimenti.
Considera qualsiasi "cella della griglia binaria", [a * 2 ^ -n, (a + 1) * 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n, (b + 1) * 2 ^ -n]. (S (a * 2 ^ n + b, n), f (S (a * 2 ^ n + b, n)) = S (b * 2 ^ n + a, n)) si trova in questa cella della griglia.