$f$ è continuo iff $G(f)$ è un insieme chiuso in spazi metrici [duplicato]

Dec 31 2020

Il grafico di $f$ è $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ e $Y$ sono spazi metrici. $Y$ è compatto.

$f$ è continuo iff $G(f)$ è un insieme chiuso.

Ho ottenuto la risposta più vicina qui, ma ho provato prima da solo e ad un certo punto sono rimasto bloccato e ho bisogno di aiuto in quella particolare situazione che non ho ottenuto da nessun'altra parte /

$\Rightarrow$ parte: Let $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ essere una sequenza convergente di $G(f)$. Se$(x,y)$è il suo limite. Dobbiamo dimostrarlo$y=f(x)$ in altre parole $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Per continuità di $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$dall'unicità del limite. Quindi$G_f$ è chiuso.

$\Leftarrow$ parte: Let $x\in X$ e $(x_n)$ una successione convergente con limite $x$. Devi dimostrarlo$(f(x_n))$ è convergente in $Y$ con limite $f(x)$. Ho usato la sequenza$z_n=(x_n,f(x_n))$ e $G_f$ è chiuso nello spazio compatto $Y$ e quindi $G_f$è compatto. Poi c'è la sottosequenza$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Allora avremo$y=f(x)$ ma come lo provo $f(x_n) \to f(x)$? È vero che ogni sottosequenza di$f(x_n)$ ha una sottosequenza convergente a $f(x)$.

Risposte

1 Ri-Li Dec 31 2020 at 22:15

Dal commento ho avuto la mia risposta che deriva da questo lemma:

Lemma Let$Y$ essere uno spazio metrico compatto e $(y_n)$ una sequenza i cui termini appartengono $Y$. Se ogni sottosequenza convergente di$(y_n)$converge allo stesso limite$\ell\in Y$, poi $(y_n)$ converge a $\ell$.

Prova Supponiamo il contrario. Allora esiste$\epsilon>0$, tale che:

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Questo ci permette di costruire una sottosequenza $(y_{n_k})$ tale che:

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Ora estrai da $(y_{n_k})$ una sottosequenza convergente: il suo limite $\ell$ dall'ipotesi e quindi otteniamo $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

Una contraddizione!

Ora qualcuno può chiudere questa risposta ma posso tenerla sotto il mio record e se qualcuno procederà in questo modo. Otterranno aiuto da esso. Ho posto la domanda perché stavo controllando uno dei modi ovvi che possono venirci in mente. Molte grazie!