Forzatura del prodotto di sistemi simmetrici
Data una famiglia di nozioni forzate $(P_i)_{i\in I}$ possiamo prendere il prodotto $P:=\prod_{i\in I}P_i$ come nozione forzante per creare un filtro generico della forma $G=(G_i)_{i\in I}$ tale che per ciascuno $i\in I$ la proiezione $G_i$ corrisponde al filtro generico creato durante la forzatura con $P_i$. Questa operazione è chiamata forzatura del prodotto e ci consente di collegare diversi tipi di oggetti generici contemporaneamente. (Per una discussione più dettagliata sull'argomento vedere Forzatura del prodotto e oggetti generici )
Ora la mia domanda è se e come la forzatura del prodotto può essere combinata con la forzatura simmetrica. Supponiamo di avere una famiglia di nozioni forzate come sopra e una famiglia di gruppi$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ così come $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ tale che $\mathcal{G}_i$ è un sottogruppo di $Aut(P_i)$ e $\mathcal{F}_i$ è un normale filtro attivo $\mathcal{G}_i$ per tutti $i\in I$. Possiamo solo definire$P$ come sopra con $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ agendo su $P$ componentwise e $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ come un normale filtro $\mathcal{G}$ ?
Ad esempio, considera il modello simmetrico originale di Cohen di $ZF+\neg AC$ dove confina in modo numerabile con molti reali generici e quindi procede a costruire un sottoinsieme infinito $A\subset \mathbb{R}$senza sottoinsiemi infinitamente numerabili. Quindi la costruzione sopra descritta dovrebbe consentirci di confinare$I$ molti di questi set $(A_i)_{i\in I}$ subito.
Ci sono complicazioni che si potrebbero incontrare con questo tipo di costruzione (es. Forzatura simmetrica del prodotto)? C'è della letteratura sull'argomento?
Risposte
Sì, ce n'è molto in letteratura. Anche se molto poco nei modi di "quadro astratto". Questo è qualcosa che è stato fatto essenzialmente fin dai primi giorni di forzatura, e puoi trovare prove di ciò nei primi giornali.
Nelle mie opere
Karagila, Asaf , Iterating symmetric extensions , J. Symb. Log. 84, n. 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , The Morris model , Proc. Am. Matematica. Soc. 148, n. 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Puoi trovare un trattamento più generale. I prodotti sono un caso particolare di un'iterazione e il primo articolo si occupa del caso in cui il supporto è finito. Nel caso di un prodotto, tuttavia, possiamo fare a meno di alcune delle difficoltà nel generalizzare le iterazioni a supporti arbitrari, e parte del lavoro viene svolto nel secondo articolo.
Oltre a ciò puoi vedere i prodotti definiti "a mano" in molti posti, è facile vedere che le definizioni valgono per qualsiasi tipo di sistema simmetrico (ma i prodotti sono normalmente usati con forzature in stile Cohen). Ecco alcuni esempi recenti, principalmente tratti dal mio lavoro che ha affrontato questo argomento abbastanza spesso, ed esempi più vecchi.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Spectra of uniformity. , Commentat. Matematica. Univ. Carol. 60, n. 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Incorporamento degli ordini nei cardinali con (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Matematica. 226, n. 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , il lemma di Fodor può fallire ovunque , Acta Math. Sospeso. 154, n. 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , risultati di indipendenza riguardanti gli insiemi finiti Dedekind , J. Aust. Matematica. Soc., Ser. A 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Una vera classe di cardinali a coppie incomparabili , Colloq. Matematica. 58, n. 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Tra tutti questi vedrai supporti finiti, numerabili (o $\kappa$-) supporta, Easton supporta, e vedrai che saltare verso qualsiasi altra cosa (che ora è solo un altro tipo di supporto misto è davvero lo stesso).
In effetti, ora abbiamo anche più potere poiché possiamo parlare di cambiare il supporto nel prodotto dei filtri e dei gruppi. Penseresti che questo significhi che possiamo dire molto di più, ma in realtà, di solito è irrilevante.
Nel mio articolo sulle iterazioni ho descritto un concetto chiamato "tenacia". Verso la fine del mio dottorato di ricerca. in una delle tante discussioni che ho avuto con Yair Hayut abbiamo deciso di cercare di capire cosa si cela veramente sotto quel concetto. E si è scoperto che ogni sistema simmetrico è equivalente a uno tenace. E questo significa che giocare con diversi supporti (cioè il supporto finito sui filtri mentre si usa Easton sulla forzatura) di solito è semplicemente equivalente a qualunque supporto più piccolo si sta utilizzando. Non necessariamente sempre, ma di solito.
Per quanto riguarda il modello Cohen, è un po 'complicato. Ogni generico è un vero e non ci interessa solo quelli, ma ci interessa anche l' insieme di tutti i generici. Quindi questo in realtà non è un prodotto, ma piuttosto un'iterazione dell'aggiunta di ogni scelta reale, violando non aggiungendo l'insieme di tutti i reali, e quindi costringendo ad aggiungere l'insieme dei generici senza il suo ben ordinamento. Tutto ciò rende l'approccio di pensarci solo come una singola estensione molto più semplice.