Grado di un'estensione del campo da parte di un elemento trascendentale
Permettere$F$sii un campo e lascia$F(x)$sia il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi$F[x]$. Mi interessa il grado di estensione del campo$[F(x) : F]$. Ovviamente è infinito, ma qual è esattamente la sua cardinalità? È$\aleph_0$? Dipende dal campo?$F$?
Risposte
Il naturale$F$-base di$F(x)$è$$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$Così (per$F$infinito) la cardinalità della base è compresa tra quella di$F$e$F[x]^2$, cioè. è lo stesso di$F$.
Per qualsiasi campo infinito$F$,$F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$è di cardinalità uguale a$F$, e c'è una mappatura suriettiva$F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$dato da$(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$(dove$(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). Da$F[x] \times (F[x])^*$è di cardinalità uguale a$F[x]$, segue il risultato.
Se$F$è finito,$F[x]$è numerabile infinito, e con la stessa logica di cui sopra,$F(x)$è anche numerabile infinito.