Gruppi virtualmente grandi di piccolo rango (relativi a 3-varietà)
Sto cercando un motivo per cui un gruppo di 3 collettori $G$ questo è virtualmente $\mathbb{Z}\times F$, $F$essendo o libero non ciclico o un gruppo di superficie, non ammette una presentazione su due generatori.
Questi sono i gruppi fondamentali delle 3-varietà chiuse con $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ geometria (grazie @HJRW per aver sottolineato che il caso barrato sopra corrisponde a un confine non vuoto), e si scopre che tutte le altre geometrie ammettono esempi con gruppo fondamentale di rango due, con notevole evidenziazione della geometria euclidea dove tutte fondamentali i gruppi sono virtualmente $\mathbb{Z}^3$(e classifica due esempi come le varietà di Fibonacci). Pertanto, i gruppi a 3-varietà ammettono che esempi di gruppi virtualmente di alto rango sono nondimeno di piccolo rango essi stessi. Ovviamente è ben noto che un gruppo libero su due generatori è virtualmente di rango arbitrariamente alto.
Tuttavia, da Boileau e Zieschang , Teorema 1.1, il rango di$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ le varietà dipendono dal genere della superficie di base e dal numero di fibre singolari della fibrazione di Seifert (ed è almeno 3), quindi essendo virtualmente $\mathbb{Z}\times F$ obbliga il gruppo ad essere almeno dello stesso rango.
Qual è la causa per cui questo sottogruppo delimita il rango del gruppo ambientale dal basso e, diciamo, gruppi liberi o liberi abeliani $\mathbb{Z}^3$non? Sarei felice se ci fosse una ragione geometrica tridimensionale in gioco qui, ma sarei grato anche per aver aggiornato la mia teoria generale dei gruppi.
Risposte
La domanda nasce da un'errata interpretazione del Teorema 1.1 nell'articolo di Boileau e Zieschang. Il teorema 1.1 esclude un discreto numero di casi, in particolare non si applica a varietà di Seifert chiuse (totalmente orientate) con 3 fibre singolari e base di genere 0. Alcune di queste varietà di Seifert escluse forniscono contro-esempi alla tua affermazione sul rango$\ge 3$.
Ad esempio, prendi l'esterno $N$ di una $(p,q)$- nodo toro che non è banale e non il trifoglio. Il genere di questo nodo è$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(perché ho escluso il trifoglio che ha genere 1). Il collettore$N$ è un fascio di superficie sul cerchio la cui fibra $F$ è la superficie una volta perforata del genere $g$. La monodromia di questa fibrazione è un ordine finito (in realtà, l'ordine è$pq$) omeomorfismo $h: F\to F$. Quindi, se collassiamo il confine di$F$ al punto, otteniamo una superficie chiusa $S$ di genere $g$ e $h$ proietterà in un omeomorfismo di ordine finito $f: S\to S$. Il toro di mappatura$M=M_f$ è una varietà di Seifert di tipo ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ ottenuto da un riempimento di Dehn del confine di $N$. La base della fibrazione di Seifert avrà tre punti singolari e genere 0: due delle fibre singolari provengono da$N$ e uno proviene dal solido toro collegato a $\partial N$come risultato del nostro riempimento Dehn. (È un fatto generale che la mappatura del toro di un omeomorfismo di ordine finito di una superficie iperbolica sia una varietà di Seifert di tipo${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Dal momento che il gruppo $\pi_1(N)$ è 2-generato, il gruppo dei quozienti $\pi_1(M)$ è anche 2-generato.