Hamiltoniana per particella di carica in campo elettromagnetico in approssimazione di dipolo

Question

Perché può l'Hamiltoniano $$ H = \frac{1}{2m}\left(\vec{p}-q\vec{A}\right)^2+q\Phi + V $$ essere trasformato in $$ H = \frac{1}{2m}\vec{p}^2 - q \vec r \vec E + V $$ nell'approssimazione di dipolo, in cui il potenziale vettoriale $\vec{A}$ (e, di conseguenza, il campo elettrico $\vec{E}$) si presume siano costanti nello spazio?

Finora ho trovato tre approcci per derivare la seconda hamiltoniana.

1. Espandi l'espressione quadratica e la negligenza $q^2 \vec{A}^2$. Sebbene questo sia applicato frequentemente in letteratura, in realtà non è richiesto nell'approssimazione di dipolo.
2. Trasforma le funzioni d'onda risultanti $\psi' = \exp(-\mathrm{i}\hbar^{-1}q\vec{r}\vec{A})\psi$, come descritto, ad esempio, in Meystre "Elements of Quantum Optics". Ma perché una tale trasformazione è valida? Chiaramente, la distribuzione di probabilità$|\psi'|^2 = |\psi|^2$ non cambia, ma non è esattamente una trasformata di gauge, vero?
3. Maria Goeppert-Mayer [1] afferma che la Lagrangiana corrispondente alla prima Hamiltoniana in questo post è equivalente a un'altra Lagrangiana, che si ricava sommando il differenziale totale $\mathrm{d}_t(\vec{r} \vec{A})$. La seconda lagrangiana può essere convertita nella seconda hamiltoniana in questo post. Ma perché è valida questa aggiunta?

[1] Göppert ‐ Mayer, Maria. "Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen." Annalen der Physik 401.3 (1931): 273-294.

Answer 1

Nella speranza che possa essere utile ad alcuni, vorrei pubblicare un breve riassunto delle mie scoperte.

Notiamo che lo slancio canonico $\vec{p}'$ è diverso dallo slancio meccanico $\vec{p} = m \vec{v}$nella prima Hamiltoniana. Ci proponiamo di derivare una forma in cui entrambi i momenti coincidono. Ciò può essere ottenuto aggiungendo un differenziale di tempo totale alla lagrangiana, come descritto nell'articolo di M. Goeppert-Mayer. In questo post e nei riferimenti in esso, viene spiegato a fondo perché l'equazione di Eulero-Lagrange è invariante a questa operazione. Grazie a @Philip per avermelo fatto notare.

Nell'ambito del formalismo hamiltoniano, questa operazione corrisponde a una trasformazione canonica. Ecco, ho trovato questa risposta molto utile. Basandoci su questa risposta, usiamo la trasformazione$$\vec{r}' = \vec{r}$$ $$\vec{p}' = \vec{p} + \nabla_\vec{r} F $$ $$H' = H - \partial_t F$$ e definire $F = - q \vec{r} \vec{A}$.

Notiamo che il potenziale del vettore $\vec{A}$ si presume che sia costante nello spazio (almeno nelle dimensioni del sistema meccanico quantistico), quindi $$\vec{p}' = \vec{p} - q A$$ e scrivi per il nuovo hamiltoniano $$H'(\vec{r}, \vec{p}', t) = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V + \partial_t q \vec{r} \vec{A} = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V - q \vec{r} \vec{E}.$$

Nota 1: il potenziale scalare $\varphi$ di solito si presume che sia zero nelle derivazioni che ho visto finora.

Nota 2: quando si affronta la sottigliezza menzionata qui è utile saperlo$\partial_{\vec{r}}^2 F = 0$.