Il derivato $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x^x=x^x\left(\ln x+1\right)$ è problematico per $x<0$

Question

Per prendere il derivato di $x ^ x$, scriviamo

$$\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx} x^x=\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx} e^{\ln x^x}=\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx} e^{x\ln x}= e^{x\ln x}× \dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx}(x\ln x)=x^x\left(\ln x+1\right)$$

Ecco il mio problema:

Se $x\in\mathbb{Z^-}$, poi $x^x\in\mathbb {R}$. Ma,$\ln x \not\in\mathbb {R}.$

Perché, $\ln x$ è definito solo nell'insieme dei numeri reali positivi.

Se, $x \not\in\mathbb {Z^{-}}$ e $x\in\mathbb{R^{-}}$, poi $x^x\in\mathbb {C}$ e $\ln x \in\mathbb {C}.$

Ma il problema si verifica se $x\in\mathbb{Z^-}.$

Così, $x^x=e^{x\ln x}$non vale per tutti i numeri reali. Ciò rende sospetto il risultato derivato.

Dov'è il problema?

Answer 1

Per niente sospetto. Non è possibile differenziare una funzione in un punto isolato del dominio. Quindi, anche se estendi il dominio di$x^x$ agli interi negativi, non puoi differenziarlo in questi punti: come fai il limite?

Si potrebbe definire$x^x$ per valori razionali negativi di $x$ aventi denominatori dispari.

Il set $W=\{a/b: a,b\in\mathbb{Z}, a<0, b>0, b\text{ odd}\}$ è anche denso $(-\infty,0)$, quindi potrebbe essere un buon candidato per superare i limiti.

C'è un problema, però: considera $-1/3$. In ogni quartiere di$-1/3$ ci sono punti $x_0$ in $W$ avendo anche numeratore e anche punti $x_1$ in $W$con numeratore dispari. Il valore di$x^x$ a $x_0$ è positivo, il valore di $x^x$ a $x_1$è negativo. Pertanto la funzione non è continua a$-1/3$.

Quindi, la differenziabilità è fuori discussione.

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Se consideri $x^x$sui numeri complessi, devi scegliere un ramo tagliato per il logaritmo complesso. Quindi la funzione è ben definita e anche analitica:$x^x=\exp(x\log x)$. Naturalmente, per considerare la derivata in$-1$ devi fare un taglio diverso da quello standard che rimuove il negativo $x$-semiasse.

Answer 2

La differenziabilità di una funzione può essere trovata solo se è continua in un intervallo $(a,b)$.

$x^x$ è continuo solo per $x > 0$. Per$x<0$, il grafico può essere disegnato solo per alcuni punti discreti. La differenziabilità non è definita per questa parte del grafico.

$$\frac{\mathrm d (x^x)}{\mathrm{d}x}=x^x(\ln x+1)\quad \forall\quad x\in \mathbb{R}^+$$