Il limite della funzione multivariabile differenziale che utilizza coordinate polari non funziona

Question

Dato:

$$ f(x,y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^6}$$

È differenziabile a $(0,0)$ ?

Ho detto di no, in quanto non è nemmeno continuo dal sentiero $x = y^3$

Tuttavia, quando andiamo alla vista polare che è: $x = r \cos(\theta) , y = r \sin(\theta)$

lo otteniamo $$\lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{r^4 \cos(\theta) \sin^3 (\theta)}{r^2(\cos^2(\theta) + r^4 \sin^6(\theta))}$$ e quindi:

$$\lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{r^2 \cos(\theta) \sin^3 (\theta)}{(\cos^2(\theta) + r^4 \sin^6(\theta)}$$

E possiamo solo tracciare $r = 0$ e capisci che è davvero continuo ...

Cosa c'è di sbagliato in questo modo? Non capisco, poiché ci viene insegnato a usare questo modo per dimostrare o smentire la continuità ogni volta, ma non ho controllato se funzionasse o meno! Presumo che in questo modo funzioni ogni volta, quindi perché non funziona qui?

Answer 1

Il problema è che : $\lim_{r \rightarrow 0^+} \frac{r^2 \cos(\theta) \sin^3 (\theta)}{(\cos^2(\theta) + r^4 \sin^4(\theta)}$non è sempre determinato contrariamente a quello che probabilmente pensi. Cosa succede se$\theta$ assume un valore che fa denominatore $0$ come $r\to 0$. Hai una forma indeterminata$(0/0)$.
Come risulta, particolarmente in questo caso, il limite di cui sopra dipende$\theta$, cioè la direzione attraverso la quale ti avvicini $(0,0)$. Prova a farlo$r\to 0$ lungo $\theta =\pi/2$. Guarda cosa succede.