Il set è un gruppo?

Question

Permettere $A$ essere un insieme non vuoto, $+$ è un'operazione binaria associativa e per ciascuna $a$ nel $A$, le due mappe

1. $A \to A$ che invia $x$ per $x+a$
2. $A \to A$ che invia $x$ per $a+x$

sono mappe biiettive. La domanda è determinare se$(A, +)$ un gruppo o no?

Lo capisco $A$ è un gruppo se ha un'identità e ogni elemento ha l'inverso, ma non sono abbastanza sicuro di come usare queste mappe biiettive per provare / confutare che $A$ è un gruppo.

Answer 1

Elemento neutro (identità)

Correggi un elemento arbitrario $a$. Dal momento che la mappa$x \to a + x$ è biettivo, l'elemento $a$ ha esattamente una prima immagine sotto questa mappa, cioè esiste un elemento unico $e$ tale che $a + e = a$.

Il prossimo passo è provare $\forall y: y + e = y$. Scegli un arbitrario$y$. Per biiettività della mappa$x \to x + a$ esiste un $x$ tale che $x + a = y$. Ora, aggiungendo$x$ a sinistra all'uguaglianza $a + e = a$ (e usando l'associatività) otteniamo $y + e = y$, qed.

Così, $e$è un elemento neutro a destra. Quindi annotalo$e + e = e$e con lo stesso argomento di cui sopra $e$ è anche un elemento neutro a sinistra.

Inverses

Infine, dobbiamo dimostrare l'esistenza degli inversi. Scegli un arbitrario$x$. Per la suriettività dell'addizione sinistra e destra, esistono elementi$y_1$ e $y_2$ tale che $y_1 + x = e$ e $x + y_2 = e$. Ora nota quello

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

Perciò, $y_1$ (che è anche $y_2$) è un inverso per $x$.

Answer 2

Deve essere presente un elemento di identità univoco:

C'è un unico $e_a$ per ciascuno $a$ tale che $ae_a=a$.

Ora prendendo l'unico $c$ tale che $ca=b$, lo abbiamo capito $cae_a=be_a$ e anche quello $cae_a=ca=b$, così che $be_a=b$ e quindi $e_a=e_b$.

Quindi abbiamo che esiste un unico inverso destro. Allo stesso modo c'è un unico inverso sinistro. Ora dobbiamo dimostrare che i due sono uguali. Ma è facile, da allora$e_le_r=e_r=e_l$.

Ora la biiettività implica che ci deve essere un unico $x_a$ tale che $ax_a=e$. E allo stesso modo c'è un unico$y_a$ tale che $y_aa=e$. Ma allora$y_aax_a=x_a=y_a$.

Quindi abbiamo soddisfatto le quattro condizioni per un gruppo, poiché la chiusura e l'associatività sono essenzialmente date.

Answer 3

Almeno per finito $A$, sì, questo è sufficiente per avere un gruppo.

Chiamata $\theta_a$ e $\gamma_a$, rispettivamente, la traduzione sinistra e destra mappa da un elemento fisso $a\in A$. Ora, per ipotesi,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ e (associatività) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Pertanto (chiusura)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, e quindi $\exists \tilde e\in A$ tale che $\theta_{\tilde e}=Id_A$. Allo stesso modo, essere$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ tale che $\gamma_{\hat e}=Id_A$; ma$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ e quindi le identità sinistra e destra coincidono, diciamo $e:=\tilde e=\hat e$.

Adesso, da allora $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, poi $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ tale che $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ o, equivalentemente, $a\tilde b=\hat ba=e$; da quest'ultimo si ricava ad es $\hat ba=a\hat b$, da dove $a\tilde b=a\hat b$ o, equivalentemente, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, e infine $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.