Informazioni sull'integrale di una forma di orientamento orientata positivamente per varietà non compatte.
Sto studiando l'introduzione di Lee. a Smooth Manifolds 2 edizione, e ho una domanda sulla situazione nel titolo di questa domanda.
Poiché definisce l'integrazione solo per le forme con supporto compatto, come dovrei interpretare l'articolo c) della proposizione 16.6, che afferma che l'integrale di una forma di orientamento orientata positivamente $\omega$è positivo. Poiché una forma di orientamento non può avere un supporto compatto a meno che il collettore non sia compatto, questo integrale dovrebbe essere interpretato in qualche modo esteso / improprio?
L'autore fa un breve commento sulla possibilità di estendere la definizione di integrazione a forme supportate non compatte, ma non entra nei dettagli su come questo processo potrebbe essere fatto.
Risposte
Posso capire perché potresti essere confuso, ma le ipotesi ($\omega$ è supportato in modo compatto e un modulo di orientamento) lo implica $M$deve essere compatto. Quindi questo è l'unico caso in cui si applica tale affermazione.
Sulla base di come Lee ha introdotto le sue definizioni, sì, sembra ragionevole presumere inoltre che nella parte (c) di quella proposizione, $M$è compatto. Tuttavia, la definizione di integrazione su varietà può essere estesa anche al caso in cui le forme non abbiano supporto compatto. Si noti che l'ipotesi di supporto compatto entra in gioco solo per garantire che l'integrale$\int_M \omega := \sum_i \int_M \psi_i M$è una somma finita in modo che tutto sia ben definito (e non ci sono serie infinite da affrontare, quindi nessun problema di convergenza); quindi per estendere le definizioni al caso di supporto non compatto, non ci resta che rivisitare sistematicamente le definizioni e vedere come indebolire l'ipotesi.
Ricordalo con alcune restrizioni topologiche $M$(come la seconda numerabilità e Hausdorffness; che penso siano già parte della definizione di Lee di una varietà), ammette una partizione di unità. Supponiamo che ci venga data una forma continua di primo grado$\omega$ sopra $M$. Ora scegli un atlante numerabile$\mathcal{A}=\{(U_i,\alpha_i)\}_{i=1}^{\infty}$e una partizione di unità $\Psi=\{\psi_i\}_{i=1}^{\infty}$ subordinato all'atlante $\mathcal{A}$ (es $\text{supp}(\psi_i)$ è compatto e si trova dentro $U_i$). Quindi, il modulo$\psi_i\omega$ ha un supporto compatto contenuto all'interno di un dominio grafico $U_i$, quindi è integrale è ben definito secondo Proposition $(16.4)$.
Diciamo $\omega$ è integrabile rispetto all'atlante $\mathcal{A}$ e divisione dell'unità $\Psi$, se la seguente somma è finita: \begin{align} \sum_{i=1}^{\infty} \int_M |\psi_i \omega| < \infty \tag{*} \end{align}In questo caso, definiamo \ begin {align} \ int _ {(M, \ mathcal {A}, \ Psi)} \ omega: = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ int_M \ psi_i \ omega \ etichetta{$**$} \ end {align}
Nota che dal valore assoluto in $\int_M |\psi_i\omega|$, Voglio solo dire che spingiamo in avanti il modulo $\psi_i\omega$ utilizzando $\alpha_i$, quindi abbiamo $(\alpha_i)_*(\psi_i\omega) = f_i\, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ per alcuni continui $f_i:\alpha_i[U_i]\to \Bbb{R}$ con supporto compatto, quindi prendiamo $\int_M |\psi_i\omega| = \int |f_i| \, dV$; dove sull'RHS hai un integrale standard (o Riemann o Lebesgue; se Riemann allora devi prestare maggiore attenzione al dominio di integrazione misurabile in Jordan; cioè limitato e confine con misura zero ecc.) in$\Bbb{R}^n$ di una funzione non negativa.
Perché questa definizione di "integrabilità" di una forma richiede "convergenza assoluta" in $(*)$, ne consegue che la somma in $(**)$esiste. Inoltre a causa della convergenza assoluta, possiamo dimostrare che la nozione di integrabilità e l'integrale risultante non dipendono dalla scelta dell'atlante$\mathcal{A}$, né la divisione dell'unità $\Psi$ (se hai accesso ad esso, Calcolo di Spivak sulle varietà, Teorema $3.12$ dimostra qualcosa di molto simile).