Integrazione di $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$
Volevo integrarmi $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
Quello che so è questo$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ dove la somma è tutto $2^{n-1}$ possibile $\pm$.
Ma ovviamente questo è difficile da integrare.
Da questo , sono venuto a conoscenza della formula di Werner che ritengo molto meno complicata per risolvere il problema di cui sopra. Ma non so come mettere questa formula in modo arbitrario$n$ per il problema dato.
Grazie per avermi aiutato in anticipo.
Risposte
La tua domanda è: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ potremmo provare a utilizzare il fatto che: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ e poi dire: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ questa prima parte è abbastanza facile da fare: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ ora la parte difficile è calcolare: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ e poi ovviamente integrando qualunque sia il risultato