L'insieme di autovalori di un operatore limitato su uno spazio di Hilbert separabile è numerabile?
Aug 17 2020
Lo spettro di un operatore è spesso non numerabile, ma tieni presente che la domanda si riferisce ad autovalori .
Questo è ben noto per gli operatori autoaggiunti, ma non vedo come il risultato si estenda oltre quel caso.
La stessa domanda ha senso anche per gli spazi di Banach separabili.
Risposte
2 MikeF Aug 17 2020 at 03:12
La stessa domanda viene posta e risposta su mathoverflow qui . L'operatore di spostamento all'indietro$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ definito da $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$fa il lavoro. Per ogni$\lambda \in \mathbb{C}$ con $|\lambda|<1$, la sequenza geometrica $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ è integrabile al quadrato e soddisfa $T v = \lambda v$.