La traccia di una matrice positiva può aumentare sotto una proiezione?

Question

La domanda riguarda le matrici simmetriche $\mathbb{S}_n$come un vero spazio vettoriale. Permettere$X$ essere una matrice simmetrica semidefinita positiva e sia $P : \mathbb{S}_n \to \mathcal{V}$ essere una proiezione su qualche sottospazio $\mathcal{V} \subset \mathbb{S}_n$. È sempre così$\mathrm{trace}(P(X)) \leq \mathrm{trace}(X)$?

Posso vedere che questo è vero quando $\mathcal{V}$ ha una base ortonormale $\{A_i\}$ costituito da matrici che sono tutte o tracce $0$ o positivo e traccia $\leq 1$. Ma in generale non so nulla su che tipo di base$\mathcal{V}$ammetterebbe. È possibile trovare un controesempio?

Answer 1

Considera la seguente base ortogonale di $\mathbb S_2$ rispetto al prodotto interno Frobenius: $$ A=\pmatrix{4&0\\ 0&2},\ B=\pmatrix{1&0\\ 0&-2},\ C=\pmatrix{0&1\\ 1&0}. $$ Permettere $P$ essere la proiezione ortogonale su $\mathcal V=\operatorname{span}(A)$ e lascia $X=A+B=\operatorname{diag}(3,0)$. Poi$$ \operatorname{tr}(P(X)) =\operatorname{tr}(P(A+B)) =\operatorname{tr}(A) =6>3 =\operatorname{tr}(X). $$

Answer 2

Ricorda Trace Inequality di Von Neumann :

Per matrici $A,B \in M_{n\times n} (\mathbb{C})$, abbiamo quello: $$ |\mathrm{Tr}(AB)| \leq \sum_{ i = 1}^{n} \alpha_i \beta_i $$ dove qui il $\alpha_i$ e $\beta_i$ sono i valori singolari di $A,B$rispettivamente, contati con molteplicità se necessario e sono in ordine decrescente. In particolare, se$P$ è una proiezione, è diagonalizzabile con valori singolari $\alpha_i\in \{0,1\}$. Ne consegue quindi che se$X$ è definito positivo: $$ \mathrm{Tr}(PA) \leq |\mathrm{Tr}(PA)| \leq \sum_{i = 1}^{n}p_ix_i\leq \sum_{i=1}^n x_i = \mathrm{Tr}(A) $$

dove qui $p_i$ sono gli autovalori della proiezione e $x_i$ sono gli autovalori di $X$.