Lo fa $\sum_1^\infty\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}$convergere? (senza l'approssimazione di Stirling)

Aug 24 2020

Questa domanda è stata posta di nuovo molto tempo fa qui , ma la sua unica risposta dà solo un suggerimento sull'approssimazione di Stirling.

Sto cercando di studiare la convergenza $\sum_1^\infty\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}$, ma senza l'approssimazione di Stirling.


Ho provato il test di condensazione di Cauchy senza fortuna. Wolfram alpha suggerisce il test della radice

Il limite è:

$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}}$

Ancora una volta Wolfram definisce il limite come: $e^{-2}$

Pertanto, in qualche modo $ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac2{n}\right)^n$

ma non ho idea di come dimostrarlo.


Non voglio ridurre questa domanda esclusivamente al calcolo di questo limite, qualsiasi risposta che non includa l'approssimazione di Stirling è benvenuta.

Grazie

Risposte

4 JoséCarlosSantos Aug 24 2020 at 19:02

Nota che$$\require{cancel}\frac{\frac{(n+1)!^2}{(n+1)^{2(n+1)}}}{\frac{n!^2}{n^{2n}}}=\cancel{(n+1)^2}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}\frac1{\cancel{(n+1)^2}}\to\frac1{e^2}$$e quello$$\frac{\frac{(2(n+1))^{n+1}}{(n+1)^{2(n+1)}}}{\frac{(2n)^n}{n^{2n}}}=2(n+1)\left(\frac{n+1}n\right)^n\left(\frac n{n+1}\right)^{2n}\frac1{(n+1)^2}=\frac2{n+1}\left(\frac n{n+1}\right)^n\to0.$$Quindi, entrambe le serie$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!^2}{n^{2n}}\text{ and }\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n)^n}{n^{2n}}$$convergono e quindi anche la loro somma.

1 KaviRamaMurthy Aug 24 2020 at 19:04

La convergenza di questa serie è abbastanza facile. Prima nota che$\sum \frac {(2n)^{n}} {n^{2n}}$ è convergente poiché è dominato da $\frac {2^{n}} {3^{n}}$se ometti i primi due termini. Ora usa il fatto che$n! < (1)(2)(n^{n-2})$ per $n \geq 3$. Puoi finire?

user Aug 24 2020 at 19:39

Alla fine ce l'abbiamo, usando questo risultato

$$(n!)^2\ge \left(\frac{n^2}{e^2}\right)^n\ge(2n)^n$$

perciò

$$\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}\le \frac{2(n!)^2}{n^{2n}}=2\frac{n!}{n^{n}}\frac{n!}{n^{n}} \le \frac2{n^2}$$

da

$$\frac{n!}{n^{n}}=\frac{1\cdot 2\cdots n}{n\cdot n\cdots n} \le \frac{1}{n}\cdot 1\cdot 1\cdots 1 = \frac{1}{n}$$