Molteplici di radici di $x^{p^k}-x$ ( $p$ è primo) in $L[x]$ con $L$ come estensione di $Z_p$
Quello che segue è di A. Białynicki-Birula, "Algebra" (la traduzione è mia).
(Capitolo VI, \ $ 6).
Esempio 1. Sia $ K $ un campo e sia $ b \ in K, b \ neq 0 $ . Consideriamo il polinomio $ x ^ n - b $ . Dimostreremo che se $ \ chi (K) = 0 $ , allora ogni radice di questo polinomio ha molteplicità uguale a 1, e se $ \ chi (K) = p \ neq 0 $ , allora ogni radice di questo polinomio ha molteplicità uguale a $ p ^ m $ , dove $ p ^ m $ è la massima potenza di $ p $ tale che $ p ^ m \ mid n $ .
Nota: nel testo sottostante l'autore ha scritto "vedi capitolo IV, $ 6, esempio 1". È chiaramente un errore in quanto non esiste un tale esempio e quel capitolo è "Dimensione" (dello spazio lineare). Per questo suppongo che volesse fare riferimento a quanto ho citato sopra.
(Capitolo X. Elementi algebrici; \ $ 4. Il campo della fattorizzazione polinomiale)
Teorema 4.1. Per ogni campo $ K $ e per ogni polinomio $ f \ in K [x] $ di grado maggiore di 0 esiste un'estensione $ L $ del campo $ K $ tale che il polinomio $ f $ ha una fattorizzazione in fattori lineari nel anello $ L [x] $ .
Esempio 1. Sia $ p $ un numero primo e $ k $ un numero naturale. Il teorema 4.1 implica che esista un'estensione $ L $ del campo $ Z_p $ tale che il polinomio $ x ^ {p ^ k} - x $ abbia una fattorizzazione in fattori lineari nell'anello $ L [x] $ . Quindi nell'anello $ L [x] $ abbiamo $$ x ^ {p ^ k} -x = (x-e_1) (x-e_2) ... (x-e_q), \ \ \ \ \ \ \ q = p ^ k. $$ Per ogni due elementi $ e_i $ , $ e_j $ tali che $ i \ neq j $ valga la condizione $ e_i \ neq e_j $ e ogni radice del polinomio $ x ^ {p ^ k} - x $ nel campo $ L $ è uguale a $ e_k $ per qualche $ k = 1, ..., q $ (vedi capitolo IV, $ 6, esempio 1). (...)
In che modo l'affermazione del primo esempio ci consente di concludere che per ciascuno $i, j$ il fatto $i \neq j$ implica che $e_i \neq e_j$? Ho provato a dimostrarlo in diversi modi ma senza successo. Ho provato a stabilirlo$x^n - b$ in qualche modo raccoglie tutte le radici così $x^{p^k} - x$ "ne ha esattamente uno a disposizione" ($p^m \cdot 1 = p^m$), usa i poteri per ottenere $p^m$ stessi fattori nella fattorizzazione di $x^{p^k}-x$ e così via, ma non riesco a stabilire una (sufficiente) relazione tra $x^{p^k} - x$ e $x^n - b$in questo caso.
Tutto quello che ho ottenuto è che:
- ogni radice $a$ di $x^{p^k} - x$ è una radice di $x^{p^k} - a$,
- Se $a$ è una radice di $x^{p^k} - x$, allora questo polinomio non può essere preso in considerazione $(x-a)^{p^k}$ come polinomi $x^{p^k} - x$ e $x^{p^k}-a$sono diversi. Da alcune ricerche su Internet, ho visto che le prove del fatto in questione generalmente usano il derivato, ma ho letto quasi tutto il libro e sono quasi sicuro che non lo usi.
Risposte
Nota: ho cancellato la mia risposta iniziale, perché sembra che abbia frainteso un po 'la domanda quando l'ho scritta.
Se a uno è già stato fornito il risultato in Example $1$ dal capitolo $6$, quindi la dichiarazione in Example $1$ Teorema seguente $4.1$ è abbastanza facile da dimostrare.
L'idea è essenzialmente solo da fattorizzare $f(x)=x^{p^k}-x$ come $x(x^{p^k-1}-1)$. Chiaramente$0$ non è una radice di $x^{p^k}-1$, così $0$ non è una radice ripetuta di $f(x)$. Questo significa esattamente uno dei$e_i$s, diciamo $e_1$ WLOG, è $0$. Questo ci dà$x^{p^k-1}-1=(x-e_2)(x-e_3)\dots(x-e_q)$, quindi è sufficiente dimostrarlo $x^{p^k-1}-1$non ha radici ripetute. Ma questo è banale, come il più alto potere di$p$ dividendo $p^k-1$ è ovviamente $p^0=1$, quindi per capitolo $6$, Esempio $1$, tutte le radici di $x^{p^k}-1$ avere molteplicità $1$ (ricorda che stiamo lavorando in un'estensione di $\mathbb Z_p$), ovvero tutto $e_2,e_3,\dots,e_q$sono distinti. Ne consegue che tutto$e_i$s sono distinti, come desiderato.
Ancora una volta, mi scuso per la complicata risposta iniziale e per qualsiasi confusione che ha causato. Il materiale lì era in gran parte irrilevante.