Mostra che il rango di$\phi$e$\psi$è uguale al rango di$\langle\cdot,\cdot\rangle$, risp.$f$

Question

Permettere$V$essere uno spazio vettoriale sul campo$K$e lascia$V^*$essere lo spazio duale di$V$. Per ogni forma bilineare$\langle\cdot,\cdot\rangle$Su$V$definiamo una mappa lineare \begin{equation} L_{\langle\,\cdot,\cdot\,\rangle}: V \rightarrow V^* : v \mapsto \langle\cdot,v\rangle \end{equation}

Sia B(V) l'insieme di tutte le forme bilineari su$V$e consideriamo le funzioni \begin{equation} \phi: B(V) \rightarrow \operatorname{Hom}_K(V,V^*) : \langle\cdot,\cdot\rangle \mapsto L_{\langle\cdot, \cdot\rangle} \end{equazione}

\begin{equation} \psi: \operatorname{Hom}_K(V,V^*) \rightarrow B(V) : f \mapsto \langle \cdot,\cdot\rangle_f \end{equation}

L'ho già dimostrato$\phi$e$\psi$sono l'uno l'inverso dell'altro en sono quindi biiezioni.

Sono bloccato sulla domanda successiva: "Mostra che il rango di$\phi$e$\psi$è uguale al rango di$\langle\cdot,\cdot\rangle$, risp.$f$, se lo assumiamo$\dim V = n < \infty$."

So che il rango della forma bilineare$\langle\cdot,\cdot\rangle$è uguale al rango di una matrice Grammatica della forma bilineare$\langle\cdot,\cdot\rangle$, ma non sono riuscito ad andare oltre.

Grazie in anticipo!

Answer 1

Presumibilmente questo significa che per qualsiasi forma bilineare$g\in B(V)$la mappa$\phi(g)$ha lo stesso rango (come mappa) del rango di$g$(come forma); e quello per qualsiasi mappa$l\in Hom(V, V^*)$il rango di$\psi(l)$come forma equivale a rango di$l$.

Questo paragrafo è la motivazione, ignoralo se non ti piacciono i termini non familiari: Dal momento che lo sai$\phi$e$\psi$sono inversi l'uno dell'altro, è sufficiente mostrare che ciascuno è di rango non crescente (poiché allora l'unico modo in cui la composizione può essere identità è se ciascuno è di rango conservativo).

Supponiamo ora$g$ha spazio nullo$W$(come forma bilineare). Controlla allora$\phi(g)$limitato a$W$è zero. Così$rk(\phi(g))\leq rk(g)$.

Allo stesso modo, se$l$ha spazio nullo$U$(come una mappa), quindi controllalo$\psi(l)$ha$U$come parte dello spazio nullo (della forma). Così$rk(\psi(l))\leq rk(l)$.

Combinando le due disuguaglianze di cui sopra e il fatto che$\psi\cdot \phi =Id$abbiamo per qualsiasi$g$:

$$rk(g)=rk(\psi(\phi g))\leq rk(\phi(g))\leq rk (g).$$

Quindi tutte le disuguaglianze sono uguaglianze, e in particolare$rk(\phi(g))= rk (g)$. L'argomento simile mostra$rk (\psi(l))=rk (l)$per tutti$l$.