Per mostrare il centro di homothety del cerchio più grande e più piccolo si trova nella tangente comune su T

Question

$c_1$ centrato su $A$ Passare attraverso $B$.

$BB′$ è un diametro di $c_1$.

$T$ un punto casuale nel segmento $BB′$.

$c_2$ centrato su $B′$ Passare attraverso $T$.

$c_3$ centrato su $B$ Passare attraverso $T$.

$c_4$ tangente esternamente a $c_2$ e $c_3$ e internamente tangente a $c_1$

$F$ è il centro di $c_4$ e $H,I$ sono punti di tangenza.

Questo mi è chiaro $Z = HI \cap AF$ è il secondo centro omotetia di $c_1$ e $c_4$ e vorrei dimostrare che si trova anche in quella linea perpendicolare a $AB$ attraverso $T$.

importante risultato correlato che probabilmente dovresti conoscere: mostra che questi tre cerchi condividono le loro linee tangenti comuni esterne

Questo sembra essere un risultato generale sui circoli sudici

Answer 1

• Let tangente comune a $T$ incontrare $AF$ a $Y$ e lascia perpendicolare a $AB$ attraverso $F$ incontrare $AB$ a $L$.

  
  Quindi calcoliamo$y=LT$ dal teorema di Pitagora: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ così $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ e così otteniamo $$y= {ac\over a+b}$$ così $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• D'altra parte lascia $X$ essere dentro $HI\cap AF$.

  
  Homothety$H_1$ a $H$ e coefficiente ${b\over c}$ prende $F$ per $B'$ e homothety $H_2$ a $G$ e coefficiente ${a+b\over b}$ prende $B'$ per $A$, quindi composizione $H_2\circ H_1$ prende $F$ per $A$ e ha il centro in $FA\cap GH =X$. Questa composizione ha un coefficiente$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ così $X$ divide $AF$ nello stesso rapporto di $Y$ e quindi $X=Y$ e abbiamo finito.

Answer 2

L'argomento nella risposta di Aqua può essere abbreviato come segue. Usiamo gli stessi nomi in punti, ma qui$a,b,c$ sono i raggi dei cerchi centrati su $A,B',F$ rispettivamente (questo cambia il significato di $a$). Permettere$LT:TA$ essere $x$.

Come descritto in Triangle Geometry di Yiu , pg 2 , il centro omotetico interno$X$ (aka centro di similitudine interno) di due cerchi $O(R),I(r)$ divide il segmento $OI$ nel rapporto $R:r$. Quindi il punto omotetico interno di$F(c),A(a)$ divide $FA$ nel rapporto $c:a$.

Usando il teorema di Pitagora come nella risposta di Aqua otteniamo

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

Risolvendo per $x$(utilizzando un risolutore online se siamo pigri) otteniamo$x=\dfrac{c}{a}$. Così

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

così $Y$ è il centro omotetico interno di $c_1,c_4$.