Perché sei$\Gamma_k$e$\Gamma_{k+1}$chiudere insieme?
Sto studiando l'analisi complessa dalla seconda edizione del libro Foundations of Complex Analysis scritto da S.Ponnusamy. Mentre percorri la sezione$4.6$( Homotopy Version of Cauchy's Teorem ) di questo libro a pagina n.$146,$Mi sono imbattuto in una definizione$4.51$nella pagina n.$147$che afferma quanto segue$:$
"Permettere$D$essere un dominio (insieme aperto e connesso) in$\Bbb C$e$\gamma_0$e$\gamma_1$essere due curve definite su$[0,1].$Lo diciamo$\gamma_0$e$\gamma_1$sono vicini se esiste una partizione$\mathcal P$di$[0,1],$ $\mathcal P : 0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = 1,$e una sequenza di dischi$D_j,$ $j=0,1,\cdots, n-1,$tale che per ciascuno$j=0,1,\cdots,n-1,$ $D_j$contiene le immagini$\gamma_0 \left ([t_k,t_{k+1}] \right )$e$\gamma_1 \left ([t_k,t_{k+1}] \right ).$"
Con questa definizione in mente l'autore ha dimostrato il seguente teorema ( Teorema $4.52$nel suo libro alla pagina n.$148$)$:$
Teorema $:$Permettere$D$essere un dominio in$\Bbb C$e$\gamma_0$e$\gamma_1$essere due contorni chiusi in$D.$Supporre che$\gamma_0$e$\gamma_1$sono vicini. Quindi, per ciascuno$f \in \mathcal H(D),$noi abbiamo$$\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.$$
Con l'aiuto del suddetto teorema l'autore ha dimostrato la versione omotopica del teorema di Cauchy nella pagina n.$149$( Teorema $4.54$). Ecco qui$:$
Teorema $:$Permettere$D$essere un dominio in$\Bbb C$e$\gamma_0$e$\gamma_1$essere due contorni chiusi in$D$tale che$\gamma_0 \simeq \gamma_1$( Fixed Endpoint Homotopic ) in$D.$Quindi per ciascuno$f \in \mathcal H(D),$noi abbiamo$$\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.$$
La dimostrazione del teorema di cui sopra è la seguente$:$
Prova. Permettere$F : \gamma_0 \simeq \gamma_1$essere un'omotopia in$D.$Da$F$è continua sul quadrato$R = [0,1] \times [0,1]$che è compatto, l'immagine$F(R)$è compatto e$F$è uniformemente continuo su$R.$Quindi$F(R)$ha una distanza positiva da$\Bbb C \setminus D.$Scegli le partizioni$$0=u_0<u_1<\cdots<u_m =1\ \ \ \ \ \ \ \ 0=t_0<t_1<\cdots<t_n =1$$di$[0,1]$e lascia$R_{jk} = [t_j,t_{j+1}] \times [u_j,u_{j+1}]$ $(j=0,1,\cdots,m-1;\ k = 0,1,\cdots, n-1),$un rettangolo. Quindi$F(R_{jk}) = D_{jk} \subseteq D.$Definire$\Gamma_k$di$$\Gamma_k (t) = F(t,u_k),\ t \in [0,1],\ k=0,1,\cdots,m.$$Quindi$\Gamma_k$'s sono continui e le curve$\Gamma_k$e$\Gamma_{k+1}$sono vicini. Quindi dal teorema precedente segue che$$\int_{\Gamma_k} f(z)\ dz = \int_{\Gamma_{k+1}} f(z)\ dz,\ k=0,1,\cdots,m-1.$$Come$\Gamma_0 = \gamma_0$e$\Gamma_m = \gamma_1,$segue l'uguaglianza desiderata.
Nella dimostrazione di cui sopra non capisco perché$\Gamma_k$e$\Gamma_{k+1}$sono vicini per$k=0,1,\cdots,m-1.$Qualcuno può aiutarmi per favore in questo senso?
Grazie in anticipo.
MODIFICARE $:$Poiché per$k=0,1,\cdots,m$l'immagine di$\Gamma_k$è dentro$D$e$D$è aperto quindi per qualsiasi punto$z$Su$\left (\Gamma_k + \Gamma_{k+1} \right )$lì esiste$\epsilon_z \gt 0$tale che$B(z,\epsilon_z) \subseteq D.$Consideriamo ora la collezione$$\mathcal U: =\left \{B \left (z, \frac {\epsilon_z} {2} \right )\ \bigg |\ z \in \text {Range} \left (\Gamma_k + \Gamma_{k+1} \right) \right \}.$$Da$\left ( \Gamma_k + \Gamma_{k+1} \right )$è continua sull'insieme compatto$[0,1]$l'immagine di$\left (\Gamma_k + \Gamma_{k+1} \right )$è compatto. Come$\mathcal U$è una copertina aperta dell'immagine di$\left (\Gamma_k + \Gamma_{k+1} \right )$e l'immagine di$\Gamma_k$è compatto,$\mathcal U$ha voce sottocopertura finita$\{B(z_r,\epsilon_r)\ |\ r = 1,2, \cdots, l \}.$Permettere$\epsilon : = \min \{\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots, \epsilon_l \}.$Dal momento che entrambi$\Gamma_k$e$\Gamma_{k+1}$sono continue sull'insieme compatto$[0,1]$sono uniformemente continui e quindi esistono$\delta > 0$tale che per ogni coppia di punti$t,t' \in [0,1]$insieme a$|t-t'| \lt \delta$noi abbiamo$$\left |\Gamma_k (t) - \Gamma_k (t') \right | < \frac {\epsilon} {2} \ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \left |\Gamma_{k+1} (t) - \Gamma_{k+1} (t') \right | \lt \frac {\epsilon} {2}.$$Ora se consideriamo la partizione$\mathcal P : 0=t_0<t_1<\cdots<t_n = 1$in modo che la norma della partizione$\mathcal P$cioè$\left \| P \right \| \lt \delta,$allora abbiamo finito. Ho ragione? Si prega di verificare la mia argomentazione.
Nota $:$Qui da$\left (\Gamma_k + \Gamma_{k+1} \right )$Intendo la concatenazione di$\Gamma_k$e$\Gamma_{k+1}.$
Penso che qui il problema principale sia quello$\Gamma_k \left ([t_k,t_{k+1}] \right )$e$\Gamma_{k+1} \left ([t_k,t_{k+1}] \right )$potrebbe non essere contenuto nello stesso disco nella sottocopertura finita. Ma la definizione di chiusura insieme richiede quella condizione in più. Come posso eliminare questo inconveniente? Qualcuno può darmi qualche suggerimento?
RE-EDITARE $:$Da$F$è un'omotopia definita sull'insieme compatto$R = [0,1] \times [0,1],$ $F(R)$è compatto. Da$F(R) \subseteq D$Così$F(R)$ha una certa distanza positiva da$\Bbb C \setminus D.$Permettere$\text {dist} (F(R), \Bbb C \setminus D) = \epsilon > 0.$Quindi per qualsiasi$z \in F(R)$noi abbiamo$B \left (z, \frac {\epsilon} {2} \right ) \subseteq D.$Considera la collezione$$\mathcal U: = \left \{B \left (z, \frac {\epsilon} {6} \right )\ \bigg |\ z \in F(R) \right \}.$$Poi chiaramente$\mathcal U$è una copertina aperta di$F(R).$Da$F(R)$è compatto$\mathcal U$ha un sottoricoprimento finito. Lascia fare$\mathcal U',$dove$$\mathcal U' : = \left \{ B \left (z_r, \frac {\epsilon} {6} \right )\ \bigg |\ r = 1,2, \cdots, p \right \}.$$Consideriamo ora la collezione di dischi$$\mathcal D : = \left \{ B \left (z_r, \frac {\epsilon} {2} \right )\ \bigg |\ r = 1,2, \cdots, p \right \}.$$Da$F$è continua sull'insieme compatto$R = [0,1] \times [0,1]$è uniformemente continuo$R.$Quindi esiste$\delta > 0$tale che per ogni coppia di punti$(t,u), (t',u') \in R$insieme a$\sqrt {(t-t')^2 + (u-u')^2} \lt \delta$noi abbiamo$$\left |F(t,u) - F(t',u') \right | \lt \frac {\epsilon} {6}.\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$Consideriamo ora le partizioni$$\mathcal P_1 : 0 = u_0 < u_1 < \cdots < u_m = 1\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \mathcal P_2 : 0=t_0<t_1<\cdots<t_n=1$$di$[0,1]$tale che$\left \|\mathcal P_1 \right \|, \left \|\mathcal P_2 \right \| < \delta.$Definiamo la funzione$\Gamma_k$di$$\Gamma_k (t) : = F(t,u_k),\ t \in [0,1],\ k=0,1,\cdots,m.$$Ora per ciascuno$j = 0,1,2,\cdots, n,$ $\Gamma_k (t_j) \in F(R).$Quindi esiste un disco$B_s = B \left (z_s, \frac {\epsilon} {6} \right ) \in \mathcal U'$tale che$\Gamma_k (t_j) \in B_s.$Perciò$$\left |\Gamma_k(t_j) - z_s \right | < \frac {\epsilon} {6}.$$Adesso molla$t' \in [t_{j},t_{j+1}].$Da$\left \|\mathcal P_1 \right \| < \delta$Così$|t'-t_j| < \delta$affinché$\sqrt {(t'-t_j)^2 + (u_k - u_k)^2} < \delta.$Così da$(1)$ne consegue che$$\left | \Gamma_k (t_j) - \Gamma_k (t') \right | \lt \frac {\epsilon} {6}.$$Poi abbiamo\begin{align*} \left |\Gamma_k (t') - z_s \right | & \leq \left |\Gamma_k (t') - \Gamma_k(t_j) \right | + \left |\Gamma_k(t_j) - z_s \right | \\ & \lt \frac {\epsilon} {6} + \frac {\epsilon} {6} = \frac {\epsilon} {3} \lt \frac {\epsilon} {2}.\end{align*}Quindi$\Gamma_k(t') \in B\left (z_s , \frac {\epsilon} {2} \right ).$Permettere$D_j : = B\left (z_s, \frac {\epsilon} {2} \right ).$Poi lo troviamo$\Gamma_k \left ([t_j,t_{j+1}] \right ) \subseteq D_j.$
Reclamo $:$ $\Gamma_{k+1} \left ([t_j,t_{j+1} ] \right ) \subseteq D_j.$
Da$\left \|\mathcal P_2 \right \| < \delta$Così$|u_k - u_{k+1}| < \delta$affinché$\sqrt {(t_j-t_j)^2 + (u_k - u_{k+1})^2} < \delta.$Quindi da$(1)$noi abbiamo$$\left |\Gamma_k(t_j) - \Gamma_{k+1} (t_j) \right | \lt \frac {\epsilon} {6}.$$Ora prendine uno qualsiasi$t^* \in [t_j,t_{j+1}].$Quindi dalla discussione precedente ne consegue$$\left |\Gamma_k (t_j) - \Gamma_k (t^*) \right | \lt \frac {\epsilon} {6}\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \left |\Gamma_k (t^*) - \Gamma_{k+1} (t^*) \right | < \frac {\epsilon} {6}.$$Poi abbiamo\begin{align*} \left |\Gamma_{k+1} (t^*) - z_s \right | & \leq \left |\Gamma_{k+1} (t^*) - \Gamma_k (t^*) \right | + \left |\Gamma_k (t^*) - \Gamma_k (t_j) \right | + |\Gamma_k (t_j) - z_s| \\ & \lt \frac {\epsilon} {6} + \frac {\epsilon} {6} + \frac {\epsilon} {6} = \frac {\epsilon} {2}. \end{align*}Quindi$\Gamma_{k+1} (t^*) \in B \left (z_s, \frac {\epsilon} {2} \right ) = D_j.$Da$t^* \in [t_j,t_{j+1}]$è stato preso arbitrariamente quindi ne consegue che$\Gamma_{k+1} \left ([t_j,t_{j+1} ] \right ) \subseteq D_j,$il che dimostra la nostra affermazione.
Questo lo dimostra$\Gamma_k$e$\Gamma_{k+1}$sono vicini. Questo completa la dimostrazione.
QED
Si prega di controllare la mia argomentazione sopra. Grazie in anticipo.
Risposte
Da$F$è un'omotopia definita sull'insieme compatto$R = [0,1] \times [0,1],$ $F(R)$è compatto. Da$F(R) \subseteq D$Così$F(R)$ha una certa distanza positiva da$\Bbb C \setminus D.$Permettere$\text {dist} (F(R), \Bbb C \setminus D) = \epsilon > 0.$Quindi per qualsiasi$z \in F(R)$noi abbiamo$B \left (z, \frac {\epsilon} {2} \right ) \subseteq D.$Considera la collezione$$\mathcal U: = \left \{B \left (z, \frac {\epsilon} {6} \right )\ \bigg |\ z \in F(R) \right \}.$$Poi chiaramente$\mathcal U$è una copertina aperta di$F(R).$Da$F(R)$è compatto$\mathcal U$ha un sottoricoprimento finito. Lascia fare$\mathcal U',$dove$$\mathcal U' : = \left \{ B \left (z_r, \frac {\epsilon} {6} \right )\ \bigg |\ r = 1,2, \cdots, p \right \}.$$Consideriamo ora la collezione di dischi$$\mathcal D : = \left \{ B \left (z_r, \frac {\epsilon} {2} \right )\ \bigg |\ r = 1,2, \cdots, p \right \}.$$Da$F$è continua sull'insieme compatto$R = [0,1] \times [0,1]$è uniformemente continuo$R.$Quindi esiste$\delta > 0$tale che per ogni coppia di punti$(t,u), (t',u') \in R$insieme a$\sqrt {(t-t')^2 + (u-u')^2} \lt \delta$noi abbiamo$$\left |F(t,u) - F(t',u') \right | \lt \frac {\epsilon} {6}.\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$Consideriamo ora le partizioni$$\mathcal P_1 : 0 = u_0 < u_1 < \cdots < u_m = 1\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \mathcal P_2 : 0=t_0<t_1<\cdots<t_n=1$$di$[0,1]$tale che$\left \|\mathcal P_1 \right \|, \left \|\mathcal P_2 \right \| < \delta.$Definiamo la funzione$\Gamma_k$di$$\Gamma_k (t) : = F(t,u_k),\ t \in [0,1],\ k=0,1,\cdots,m.$$Ora per ciascuno$j = 0,1,2,\cdots, n,$ $\Gamma_k (t_j) \in F(R).$Quindi esiste un disco$B_s = B \left (z_s, \frac {\epsilon} {6} \right ) \in \mathcal U'$tale che$\Gamma_k (t_j) \in B_s.$Perciò$$\left |\Gamma_k(t_j) - z_s \right | < \frac {\epsilon} {6}.$$Adesso molla$t' \in [t_{j},t_{j+1}].$Da$\left \|\mathcal P_1 \right \| < \delta$Così$|t'-t_j| < \delta$affinché$\sqrt {(t'-t_j)^2 + (u_k - u_k)^2} < \delta.$Così da$(1)$ne consegue che$$\left | \Gamma_k (t_j) - \Gamma_k (t') \right | \lt \frac {\epsilon} {6}.$$Poi abbiamo\begin{align*} \left |\Gamma_k (t') - z_s \right | & \leq \left |\Gamma_k (t') - \Gamma_k(t_j) \right | + \left |\Gamma_k(t_j) - z_s \right | \\ & \lt \frac {\epsilon} {6} + \frac {\epsilon} {6} = \frac {\epsilon} {3} \lt \frac {\epsilon} {2}.\end{align*}Quindi$\Gamma_k(t') \in B\left (z_s , \frac {\epsilon} {2} \right ).$Permettere$D_j : = B\left (z_s, \frac {\epsilon} {2} \right ).$Poi lo troviamo$\Gamma_k \left ([t_j,t_{j+1}] \right ) \subseteq D_j.$
Reclamo $:$ $\Gamma_{k+1} \left ([t_j,t_{j+1} ] \right ) \subseteq D_j.$
Da$\left \|\mathcal P_2 \right \| < \delta$Così$|u_k - u_{k+1}| < \delta$affinché$\sqrt {(t_j-t_j)^2 + (u_k - u_{k+1})^2} < \delta.$Quindi da$(1)$noi abbiamo$$\left |\Gamma_k(t_j) - \Gamma_{k+1} (t_j) \right | \lt \frac {\epsilon} {6}.$$Ora prendine uno qualsiasi$t^* \in [t_j,t_{j+1}].$Quindi dalla discussione precedente ne consegue$$\left |\Gamma_k (t_j) - \Gamma_k (t^*) \right | \lt \frac {\epsilon} {6}\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \left |\Gamma_k (t^*) - \Gamma_{k+1} (t^*) \right | < \frac {\epsilon} {6}.$$Poi abbiamo\begin{align*} \left |\Gamma_{k+1} (t^*) - z_s \right | & \leq \left |\Gamma_{k+1} (t^*) - \Gamma_k (t^*) \right | + \left |\Gamma_k (t^*) - \Gamma_k (t_j) \right | + |\Gamma_k (t_j) - z_s| \\ & \lt \frac {\epsilon} {6} + \frac {\epsilon} {6} + \frac {\epsilon} {6} = \frac {\epsilon} {2}. \end{align*}Quindi$\Gamma_{k+1} (t^*) \in B \left (z_s, \frac {\epsilon} {2} \right ) = D_j.$Da$t^* \in [t_j,t_{j+1}]$è stato preso arbitrariamente quindi ne consegue che$\Gamma_{k+1} \left ([t_j,t_{j+1} ] \right ) \subseteq D_j,$il che dimostra la nostra affermazione.
Questo lo dimostra$\Gamma_k$e$\Gamma_{k+1}$sono vicini. Questo completa la dimostrazione.
QED