Primo relativo a $0$

Jan 10 2021

Questa domanda è più generale, ma userò un teorema per motivarla.

Supponiamo che io voglia dimostrare che esiste un razionale $r$ tale che $r^3 + r + 1 = 0$. Il primo passo è presumere che esista tale file$r$, così $r = \frac{p}{q}$ dove $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ dove $p,q$ sono relativamente prime.

Ecco la mia domanda. Se questo$r$ erano $0$ (non lo è, e posso escluderlo, ma mi interessa sapere se devo effettivamente escluderlo per il pieno rigore), che $r = \frac{0}{q}$. Ma$0 \cdot 0 = 0$ e $0 \cdot q = 0$, quindi entrambi $p$ e $q$ hanno un fattore comune di $0$.

Ma $\gcd(p,q) = 1$, ancora, da allora $1 > 0$e non sembra importare se $q$ è negativo.

Sulla base di ciò, la mia conclusione è che in realtà non importa se $p = 0$e non ho bisogno di considerarlo. È giusto? Se ho scritto "presumo$p$ e $q$ non hanno fattori comuni ", è già un po 'ambiguo perché hanno sicuramente un fattore comune di $1$, ma il presupposto più formale "relativamente primo" sembra corretto.

Risposte

2 fleablood Jan 10 2021 at 13:19

Se sostituiamo "$p,q$ sono relativamente prime "con"$\frac pq$ è nel "termine più basso" "cambierà il modo in cui la pensi?

Se $q > 1$ poi $\frac 0q = \frac 01$ così $\frac 0q$ non è in termini minimi.

Se usiamo la notazione di $\gcd$ e "numero primo relativo" sebbene l'argomento sia lo stesso.

Come $0\cdot q = 0$ abbiamo il $q$ è un divisore di $0$ e così $\gcd(0, q) = q$ e se $q > 1$ poi $\gcd(0,q) = q$ e quindi

Se $q>1$ poi $0$ e $q$ non sono relativamente prime.

Ma $\gcd(0,1) = 1$ così

$0$ e $1$ sono relativamente prime.

E possiamo solo continuare.

====

Ma nella tua analisi ti sei confuso e hai fatto una convoluzione.

Tu dici:

Ma 0⋅0 = 0 e 0⋅q = 0, quindi sia p che q hanno un fattore comune di 0.

Non proprio. noi abbiamo$0\cdot q =0$. Tu non hai$0\cdot something = q$. Così$0$NON è un fattore di$q$. Così$0$non è un fattore di nulla tranne che di se stesso.

Quello che non avete e dovrebbe aver detto è perché$0\cdot q = 0$ e $1\cdot q = q$ è così $q$ (e non $0$) che è un fattore comune di $0$ e $q$.

In effetti ogni cosa è un fattore di$0$ così $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Tenere presente$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ perché semmai divide entrambi $a$ e $b$ si divide anche $-a$ e $-b$.)

E $0$ e $q$ sono mezzi relativamente importanti $\gcd(0, q) = 1$. Ma$\gcd(0, q) = |q|$ così da avere $0$ e $q$ relativamente primo dobbiamo avere $q = \pm 1$.

....

oh, dovrei sottolineare, come mi ha corretto Prasun Bis, che quando definiamo $\gcd(a,b)$e il "massimo" divisore comune, la maggior parte dei testi non significa necessariamente "massima" in grandezza, ma "massima" in divisibilità. Definiamo$a\preceq b$ per intenderci $a$ divide $b$e questo è un ordine parziale (non totale, nessun confronto tra due elementi). Usando questo ordine il "massimo" comune divisore è il comune divisore in cui si dividono tutti gli altri comuni divisori.

Per la maggior parte la definizione è la stessa di se $a,b$ sono entrambi positivi $a\preceq b \implies a \le b$. E se$a,b$ sono numeri interi positivi il massimo comune divisore in grandezza e il comune divisore maggiore in divisibilità sono gli stessi.

Ma in questo caso come tutto si divide $0$, abbiamo sempre $q\preceq 0$ e $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ e $0$è il maggiore in divisibilità di tutti gli interi. Quindi anche se tutti$q$ sono divisori comuni di $0$ e $0$, $\gcd(0,0) = 0$.