Problema di algebra precalcolo sui numeri razionali e irrazionali.

Question

Permettere $ a, b $essere numeri irrazionali. Lo sappiamo$ a + b $, $ a^3 + b^3 $ e $ a^2 + b $ sono razionali.

L'ho dimostrato $ ab $, $ a + b^2 $sono anche razionali. Ho provato a trovare alcuni esempi:$ (1 - \sqrt{x}, 1 + \sqrt{x}) $, $ (1 - \sqrt[3]{x}, 1 + \sqrt[3]{x}) $, $ (1 - \sqrt[6]{x}, 1 + \sqrt[6]{x}) $, anche funzioni trigonometriche.

Answer 1

Prendere $$(a,b)=\left(\frac{1+\sqrt{r}}{2},\frac{1-\sqrt{r}}{2}\right),$$ dove $r\in\mathbb Q$, $r>0$ e $\sqrt{r}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$.