Proprietà dei centri dei triangoli

Question

$M$è l'intersezione di 3 ceviani nel triangolo$ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Si può facilmente dimostrare che per entrambi i punti Nagel e Gergonne è vera la seguente equazione:$$S = xyz / r,$$dove$S$è l'area del triangolo$ABC$e$r$è il raggio della circonferenza inscritta.

Mi chiedo quali altri centri di triangoli potrebbero avere la stessa proprietà e qual è il loro posto geometrico?

Inoltre, tieni presente che per il caso in cui il punto$M$è il baricentro la formula appare come segue:$S = 2xyz/R$, dove$R$è il raggio del circumcircle. Sostituzione$x = b/2$,$y = a/2$,$z = c/2$lo riporta al classico$S = abc/4R$. Forse potrebbero esistere altri centri di triangoli, in modo che questa equazione$S = 2xyz/R$vale anche per loro. Mi chiedo in quale particolare relazione possano essere questi punti ipotetici con il baricentro di$ABC$?

Answer 1

Questa è solo una coda ai commenti precedenti, ma troppo lunga per un commento. Se$M$ha coordinate baricentriche$(\lambda,\mu,\nu)$(non necessariamente positivo e normalizzato in modo che$\lambda+\mu+\nu=1$), allora entrambe le condizioni si riducono a un'equazione cubica della forma$$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$è una costante che dipende dalla (forma del) triangolo e può essere facilmente calcolata in modo esplicito.

Per verificare se un dato centro (con funzione di centro$f$dall'Enciclopedia dei centri triangolari, normalizzato per essere omogeneo con$f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), dovrebbe essere facile scrivere un piccolo programma, diciamo in Mathematica, per verificarlo sul posto.

Answer 2

GeoGebra ha trovato X(7) X(8) X(506) X(507) e altri se si lasciano intersezioni periferiche di ceviani.

PS: è stato rilevato un bug in GeoGebra.
Spero venga risolto presto. [Modifica: ora risolto]