Prova di continuità di $\sqrt{x}$ - dov'è il mio errore?

Question

Sto cercando di dimostrarlo $f(x) = \sqrt{x}$ è continuo $[0, \infty)$. Ecco cosa ho ottenuto finora:

Ritenere $x_0 \in [0,\infty)$ $$|f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|$$

Moltiplichiamo quella quantità per il numero positivo $|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|$. Poi,$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}||\sqrt{x} + \sqrt{x_0}|\\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |x-x_0| < \delta \end{align} $$

Scegli $\delta=\epsilon$. Ora abbiamo$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\delta \\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\epsilon \\ |f(x) - f(x_0)| & < \epsilon \end{align} $$ quando $|x-x_0|<\delta$. Sembra provato se me lo chiedi, ma da quello che ho letto, il modulo di continuità di$\sqrt{x}$ è $\delta(\epsilon)=\epsilon^2$. Questo mi costringe a concludere che ho commesso un errore da qualche parte, ma non riesco a trovarlo. (Scommetto che è un dettaglio stupido)

Grazie in anticipo!

Answer 1

Suggerimento:

$$|\sqrt x-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}<\frac\delta{\sqrt x+\sqrt{x_0}}$$

e tu sai $\;\sqrt x\ge 0\;$ per tutti $\;x\in[0,\infty)\;$ , così $\;\sqrt x+\sqrt{x_0}\ge\sqrt{x_0}\;$ ...