Prova di funzione Gamma e Beta
La funzione Beta è definita dall'integrale$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ Valutando $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ in due modi diversi, dimostralo $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$
ho una prova della relazione tra la funzione gamma e la funzione beta ma dopo aver sostituito la prima volta e scambiato gli integrali perché la funzione diventa $x^{\alpha+\beta-1}$ dopo la pettinatura $x^{\alpha-1}$ e $x^{\beta-1}$ non dovrebbe essere $x^{\alpha+\beta-2}$?
$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$
Risposte
Esaminiamo la linea cruciale in modo più dettagliato. La sostituzione$y=tx$ dà $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ Come puoi vedere, abbiamo $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ da dove l'addizionale $-1$scompare. È tutto.
Penso che sia più facile se lo fai usando una storia piuttosto che fare integrali complicati. Immagina due distribuzioni Gamma$X \sim Gamma(a, \lambda)$ e $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.
Usando questi due, calcola il giunto $f_{T,W}(t,w)$ distribuzione di:
$T = X + Y$ e $W = \frac{X}{X+Y}$.
Come storia, immagina due impiegati, che lavorano in una banca, entrambi che lavorano allo stesso ritmo $\lambda$. T è il tempo di attesa totale per una persona che ha a che fare con entrambi gli impiegati, mentre W è la frazione che la persona attende per il primo impiegato.
Fuori dalla distribuzione congiunta, sarà chiaro che questo è il prodotto di due distribuzioni indipendenti, una che è $Beta$. Questo è anche molto più facile da ricordare.