Qualsiasi mappa continua è omotopica a una che assume valori fissi in un numero finito di punti

Question

Permettere $X$ e $Y$essere spazi topologici. Assumere$X$è contrattabile localmente e non ha un sottoinsieme finito denso. Assumere$Y$ è connesso al percorso.

Dato $n$ coppie di punti $(x_i, y_i)$ dove $x_i\in X$ e $y_i\in Y$ per $1\leq i\leq n$ e una mappa continua $f:X\to Y$ possiamo trovare una mappa continua $g:X\to Y$ omotopico a $f$ tale che $g(x_i)=y_i$?

Answer 1

Permettere $X$ essere la vera linea con un'origine doppia e $Y$ essere $\Bbb R$, e lascia $f$ essere la mappa di proiezione che fa crollare le due origini $0^+$ e $0^-$ per $0$. Quindi qualsiasi mappa$g: X \to Y$ soddisfa $g(0^+) = g(0^-)$ perché $\Bbb R$è Hausdorff. Perciò,$f$ non è omotopico a nessuna mappa che invia questi due punti a punti distinti.

La tua domanda è strettamente correlata all'inclusione $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$avere la proprietà di estensione dell'omotopia. In particolare, se si tratta dell'inclusione di una ritrazione di deformazione del vicinato, allora esistono tali omotopie. Nell'esempio sopra, ogni punto individualmente ha un quartiere contraibile ma le due origini insieme non hanno un quartiere che si ritrae su di loro.