Questa sostituzione è una condizione sufficiente per trovare il range della funzione?

Question

ho questa funzione ($x>0$)$$f (x)=\frac{\sqrt{g (x)}+4 x \left(x^2+1\right) \sin (\pi x) \cos ((3+\pi ) x)}{x^4+2 x^2+1+\left(4 x^2+\left(x^2-1\right)^2 \cos (2 \pi x)\right)}$$dove$g(x)=4 x^2+\left(x^2-1\right)^2 \cos (2 \pi x)-\left(x^2+1\right)^2 \cos (2 (3+\pi ) x)\;$. Voglio dimostrare che la gamma di funzioni$f(x)$per quei valori di$x$in quale$g(x)=0\;$è$[-1,1]$.

Da$g(x)=0\;$noi abbiamo$\;4 x^2+\left(x^2-1\right)^2 \cos (2 \pi x)=\left(x^2+1\right)^2 \cos (2 (3+\pi ) x)\;$. L'LHS è lo stesso di uno dei termini al denominatore di$f$. Allora, è sufficiente sostituire questo termine in$f$e poi controllare l'intervallo? Questo fornisce l'intervallo della funzione solo per quei valori di$x$per cui$g(x)=0$? In caso contrario, come posso dimostrare che l'intervallo di funzioni$f(x)$per quei valori di$x$in quale$g(x)=0\;$è$[-1,1]$?

PS ho fatto in questo modo, ma vedo che questa è la gamma di funzioni per alcuni$x_0$è maggiore di uno, ma quando controllo$g(x_0)\;$, non è zero!

Answer 1

Sì, puoi sostituire come hai fatto e l'intervallo così ottenuto sarà composto solo da valori di$f(x)$per cui$g(x)=0$è soddisfatto.

Pur sostituendo solo il valore di$g(x)$,come hai fatto tu, non porta alla soluzione completa...

Ecco un modo per farlo... Per l'equazione$g(x)=0$, usa l'identità$\cos(2t)=1-2\sin^2t$per entrambi i coseni e la semplificazione da ottenere

$$\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^2=\left(\frac{\sin(\pi x)}{\sin((3+\pi)x)} \right)^2$$

L'utilizzo di questo insieme alla sostituzione del valore come hai menzionato porta a

$$f(x)=\frac{2x\sin(\pi x)}{(x^2+1)\cos((3+\pi )x)}=\frac{2x \sin(\pi x)}{\sqrt{(x^2+1)^2-(\sin(\pi x)^2(x^2-1)^2}} $$

Ora questo sta davvero nel mezzo$[-1,1]$.