Relazione tra componenti di percorso di due spazi topologici con componenti di percorso del loro prodotto.

Question

Permettere $X_1$ e $X_2$essere spazi topologici. Indichiamo con$\pi_0(X)$ l'insieme dei componenti del percorso di $X$. Vorrei sapere se esiste una relazione tra$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$, e $\pi_0(X_1\times X_2)$.

L'ho già dimostrato $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. L'altra inclusione è vera?

Grazie!

Answer 1

La prima cosa da notare è che questa non è tecnicamente un'inclusione di set, piuttosto un'inclusione naturale $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$, poiché il prodotto degli spazi collegati al percorso è connesso al percorso. Se$X=A \cup B$, con $A \cap B = \emptyset$, quindi per qualsiasi set $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$con questo componente deluso. Quindi se$Y = \bigcup_i Y_i$ e $X=\bigcup_j X_j$, dove $X_j,Y_i$ sono i componenti del percorso (che sono disgiunti!), ce l'abbiamo $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. Questi sono chiaramente i componenti del percorso di$X \times Y$, poiché se ci sono punti di collegamento del percorso in punti diversi ci sarebbe un collegamento di percorso $Y_i$ per $Y_i'$ o $X_j$ per $X_j'$. Quindi otteniamo una biiezione naturale (l'inclusione è suriettiva)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ dove $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.