Relazione tra sottogruppi aperti compatti e reticoli

Aug 19 2020

Permettere $F$ essere un campo locale non archimedeo, $\mathfrak o$ il suo anello di unità e $\mathfrak p$il suo ideale massimo unico. Mi piacerebbe dimostrarlo$K=GL_2(\mathfrak o)$ è l'unico sottogruppo aperto compatto massimo di $GL_2(F)$ fino alla coniugazione.

I suggerimenti che mi vengono dati suggeriscono di collegarlo ai reticoli , e non vedo molto la relazione. I suggerimenti sono i seguenti:

  • mostrare che esiste un file $K$-stabile $\mathfrak o$-lattice (qui possiamo prendere qualunque cosa $\mathfrak o$-reticolo $\Lambda$ e poi $K\Lambda$ è $\mathfrak o$-stabile)
  • mostrare che l'unico $GL_2(\mathfrak o)$-stable reticoli sono $\mathfrak p^j \oplus \mathfrak p^j$ (Immagino che sia semplicemente una questione di operare in linea / colonne e guardare le valutazioni)

Tuttavia, cosa succederà dopo? Non vedo come mettere in relazione le proprietà di questi reticoli con una relazione tra$K$ e $GL_2(\mathfrak o)$. Grazie in anticipo per il vostro aiuto.

Risposte

TorstenSchoeneberg Aug 23 2020 at 21:58

Se hai due reticoli $L, L'$, provare a trovare $g \in GL_2(F)$ tale che $g(L)=L'$.

Ora se $K, K'$ sono i sottogruppi stabilizzatori corrispondenti ai rispettivi reticoli, come sono correlati, utilizzando quanto sopra $g$?