Risolvere il sistema $3-(y+1)^2 = \sqrt{x-y}$, $\;x+8y = \sqrt{x-y-9}$

Aug 24 2020

Come risolvere queste equazioni? $$\begin{cases} 3-(y+1)^2 = \sqrt{x-y}\\ x+8y = \sqrt{x-y-9} \end{cases}$$

Ho provato a risolverlo usando i metodi di sostituzione ed eliminazione senza alcun successo. Ho anche provato a tracciare queste equazioni e ho ottenuto$x = 8$, $y = -1$.

Qualcuno può mostrarmi i passaggi necessari per risolvere questo problema?

Grazie in anticipo.

Risposte

2 NinadMunshi Aug 24 2020 at 19:19

Indovina e verifica è un metodo valido per risolvere le equazioni. Si noti che il dominio della radice quadrata lo richiede

$$x-y \geq 9$$

quindi cosa succede se $x-y = 9$ ?

$$\begin{cases}3-(y+1)^2 = 3 \\ x+8y = 0\end{cases}$$

Puoi prenderlo da qui?

Si noti che anche la prima equazione lo impone $-1-\sqrt{3} \leq y \leq -1+\sqrt{3}$perché il risultato di una radice quadrata deve essere sempre positivo. Puoi usarlo per dimostrare che non ci possono essere altre soluzioni?

2 MichaelRozenberg Aug 24 2020 at 19:34

Da $x-y\geq9,$ otteniamo: $$3-(y+1)^2=\sqrt{x-y}\geq3,$$ che dà $$y=-1,$$ $$x-y=9$$ e $$x=8.$$ Ora è sufficiente verificare che la seconda equazione valga per questi valori di $x$ e $y$.

TobyMak Aug 24 2020 at 19:25

Osservando i lati di destra, otteniamo: $$(x+8y)^2 + 9 = (3 - (y+1)^2 )^2$$ $$(x+8y)^2 -(3 - (y+1)^2 )^2 = -9$$

e ora usando la differenza di due quadrati: $$(x+8y+3-(y+1)^2)(x+8y-3 + (y+1)^2 )= -9$$

Se c'è una soluzione pulita dove $x, y$sono numeri interi, quindi le due parentesi devono essere esse stesse numeri interi. Ci sono solo poche possibilità: che sono:$$(\text{left}, \text{right}) = (-1, 9), (1, -9), (-3, 3), (3, -3), (-9, 1), (9, -1).$$

Alcune di queste soluzioni sono estranee o hanno soluzioni non intere (che possono essere espresse in radicali). Con la coppia$(3, -3)$, ottieni una soluzione intera $(x,y) = (1,8)$, e ora sostituisci le equazioni originali per verificarle.