Se $p$ è un numero primo dispari e $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, poi $\alpha^2$ non è una radice primitiva modulo $p$.

Question

Dimostrare vero o fornire un controesempio se falso.

Se $p$ è un numero primo dispari e $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, poi $\alpha^2$ non è una radice primitiva modulo $p$.

Stavo cercando di dimostrare che era vero, ma non so da dove cominciare. Stavo pensando di usare il piccolo teorema di Fermat: if$p$ è un primo e $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, poi $\alpha^{(p-1)}=1$ ma come si fa il salto da FLT a radici primitive? Una radice primitiva è definita come un elemento$\gamma=\phi(m)$ ma come si collega a questo problema?

Answer 1

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$L'ultimo passaggio segue da FLT.

Quindi, l'ordine di $a^2$ mod $p$ è al massimo $\frac{p-1}{2}$, quindi non può essere una radice primitiva per definizione.