Se $p$ è uno strano numero primo con $p ≡ 3(\mod 4)$, poi $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Question

Dimostra se è vero. Fornisci un controesempio se falso. Se$p$ è uno strano numero primo con $p ≡ 3(\mod 4)$, poi $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

Prova. $p ≡ 3(\mod 4)$ implica $4|p-3$. Il teorema di Wilson dice: se p è primo, allora$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ o equivalentemente $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Quest'ultimo implica $$p|(p-1)!+1.$$

Non sono sicuro di dove andare da lì, o se questo è anche l'approccio corretto per cominciare.

Answer 1

Dal teorema di Wilson, lo sappiamo $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

Quindi, è sufficiente dimostrarlo $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

il che equivale a dimostrarlo $\frac{p-1}2$ è un numero dispari

Se $p = 4k+3$, poi $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ che è un numero dispari.