Sottospazi complementari, domanda Vero/Falso

Question

Vero o falso?

$W_1$,$W_2$e$W_3$sono sottospazi dello spazio vettoriale$V$. Se$W_1 ⊕ W_2 = V$e$W_1 ⊕ W_3 = V$, poi$W_2 = W_3$.

In realtà mi è stata posta questa domanda più piccola durante un esame e ho detto che era vero, ma in seguito mi è stato detto che era falso. Qualcuno può spiegarmi perché così posso vederlo intuitivamente nella mia testa che è davvero falso. Solo allora posso trovare un controesempio.

Grazie in anticipo.

Answer 1

$W_2$e$W_3$sono isomorfi, ma potrebbero non essere lo stesso sottospazio.

Un modo per vedere questo è scegliere prima una base$B$di$W_1$. Esistono diversi modi per estendere questa base a una base di$W_1 \oplus W_2$, quindi i vettori aggiuntivi aggiunti a$B$potrebbe estendersi su diversi sottospazi.

Un altro modo è immaginare un automorfismo$\alpha$di$V$, (cioè$\alpha:V \to V$è una mappa lineare invertibile). Supporre che$W_1$è un sottospazio invariante di$\alpha$. Quindi$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$per tutto questo$\alpha$.

Answer 2

È davvero sbagliato! Hai per esempio quello$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ma$$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$