Stabilità dell'interpolazione di spostamento nel trasporto ottimo

Question

Permettere$(X,d)$sia uno spazio metrico completamente separabile, e let$(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$sia lo spazio delle misure di probabilità su$X$con momenti secondi finiti, dotato della distanza 2-Wasserstein. È noto che le misure discrete sono dense all'interno$(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$- vale a dire, dato qualsiasi$\mu \in \mathcal{P}_2 (X)$, e$\delta>0$, si può trovare una misura discreta$\mu_\delta$insieme a$W_2 (\mu, \mu_\delta)<\delta$.

Adesso molla$\mu_0, \mu_1 \in \mathcal{P}_2 (X)$, e lascia$\mu_t$essere un$W_2$collegamento geodetico$\mu_0$e$\mu_1$(ovvero$\mu_t$è un'interpolazione di spostamento [non necessariamente unica] tra$\mu_0$e$\mu_1$). L'interpolazione dello spostamento è stabile per approssimazione discreta? Cioè, si può scegliere discreto$\mu_{0,n}, \mu_{1,n}$tale che$\mu_{t,n}$è vicino a$\mu_t$per tutti$t\in[0,1]$?

Answer 1

L'interpolazione di spostamento$\mu_t$non dovrebbe essere fissato a priori , a causa della non unicità delle geodetiche di Wasserstein. Pertanto, la domanda corretta dovrebbe essere: fissare le sequenze approssimanti$(\mu_{0,n}),(\mu_{1,n})$e$W_2$geodetiche$\mu_{t,n}$, e chiedi se ne esiste uno $\mu_t$vicino a$\mu_{t,n}$per$t \in [0,1]$.