Trova il CDF di$Y=X+|X-a|$dove$X\sim\text{unif}[0,b], b>a>0$

Question

Dato$X\sim\text{unif}[0,b]$, devo trovare la seguente probabilità:

$$F(y)\triangleq\mathbb{P}(Y\leq y)$$

Per tutti$y\in\mathbb{R}$, dove$Y=X+|X-a|$e$b>a>0$sono date costanti positive.

Il mio tentativo : è chiaro che$Y\in[a,2b-a]$, dunque$F(y)=0$per tutti$y<a$e$F(y)=1$per tutti$y\geq2b-a$. Ora dobbiamo solo calcolare$F(y)$per$y\in[a,2b-a)$:

$$F(y)=\mathbb{P}(X+|X-a|\leq y)= \\=\mathbb{P}(2X-a\leq y \mid X<a)\mathbb{P}(X<a)+\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\mathbb{P}(X>a) = \\ =\frac ab\mathbb{P}(X\leq \frac{y+a}{2} \mid X<a)+\frac{b-a}{b}\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\triangleq\frac ab P_1+\frac{b-a}{b} P_2$$

Ho capito che$[X|X<a]\sim\text{unif}[a,b]$, dunque:

$$P_1=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{\frac{y+a}{2}}\text{d}x=\frac 12 \frac{y-a}{b-a}$$

Ho usato il fatto che$(y+a)/2<b$da quando ho ipotizzato$y<2b-a$. Ora ecco il mio problema: non ho idea di come lavorare con$P_2$. La mia ipotesi era quella$P_2=1$fino a quando$y\geq a$(e questo concorda esattamente con la mia ipotesi che$y\in[a,2b-a)$), ma in tal caso:

$$F(y)=\frac{a}{2b} \frac{y-a}{b-a}+\frac{b-a}{b}$$

Questo non ha senso per me. Ecco un esempio del perché: se i miei calcoli fossero veri, allora$F(a)=(b-a)/b$, ma veramente:

$$F(a)=\mathbb{P}(Y\leq a)=\mathbb{P}(Y=a)+\mathbb{P}(Y<a)=\mathbb{P}(Y=a)=\mathbb{P}(X\leq a)=a/b$$

($\mathbb{P}(Y<a)=0$da$Y\geq a)$

Grazie!

Answer 1

Hai alcuni casi invertiti. Se$X < a$, poi$|X - a| = a - X$, quindi$Y = a$per questo caso. Nota

$$Y = \begin{cases} a, & X \in [0,a] \\ 2X - a, & X \in (a, 1]. \end{cases}$$

Perciò,$$\Pr[Y \le y] = \Pr[a \le y \mid X \le a]\Pr[X \le a] + \Pr[2X - a \le y \mid X > a]\Pr[X > a].$$Poi da allora$$\Pr[a \le y \mid X \le a] = \mathbb 1(y \ge a) = \begin{cases} 0, & y < a, \\ 1, & y \ge a, \end{cases}$$e$$\Pr[X \le \tfrac{a+y}{2} \mid X > a] = \frac{\frac{a+y}{2} - a}{b-a} \mathbb 1(y \ge a) = \frac{y-a}{2(b-a)} \mathbb 1(y \ge a)$$otteniamo$$\Pr[Y \le y] = \mathbb 1 (y \ge a)\left( \frac{a}{b} + \frac{y-a}{2(b-a)}\frac{b-a}{b}\right) = \frac{a+y}{2b} \mathbb 1(y \ge a)$$che dopo aver corretto per i limiti finiti su$X$, dà$$\Pr[Y \le y] = \begin{cases} 0, & y < a \\ \frac{a+y}{2b}, & a \le y \le 2b-a \\ 1, & y > 2b-a. \end{cases}$$