Trova tutte le funzioni $f$ tale che $f(mn) = f(m)f(n)$ e…

Aug 16 2020

Trova tutte le funzioni $f : N → N$ tale che

(un) $f(2) = 2$

(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ per tutti $m, n ∈ N$

(c) $f(m) < f(n)$ per $m < n$

Per prima cosa, ho sostituito $m=1,n=2$ ottenere $f(1)=1$. Successivamente, possiamo facilmente notare che tutti i poteri di$2$saranno uguali a se stessi. Questo è$f(4)=4,f(8)=8$, e così via. Ora, il passaggio successivo non sono così sicuro che sia corretto. Come$f(4)>f(3)>f(2)$, e $f : N → N$, Credo $f(3)$ può solo essere $3$ma ancora una volta non sono così sicuro. Se è così, credo che l'unica funzione possibile sia$f(x)=x$.

Ora per la parte successiva del problema-

Cosa succede se la terza condizione non ci viene data?

Purtroppo non ho nemmeno la risposta al problema, figuriamoci una soluzione. Anche qualsiasi suggerimento sarebbe utile, grazie.

Risposte

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 17:56

Più facilmente :

Se $f(1)=1$ e $f(2^n)=2^n$e perché hai $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

l'unica possibilità è quella $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ e così via.