Unicità delle soluzioni per PDE di primo ordine, lineare, omogeneo, valore limite
Considera una PDE omogenea, lineare, di primo ordine
$$L u \equiv \left( \sum_{i = 1}^d f^i(x) \frac{\partial}{\partial x^i} + c(x) \right) u(x) = 0$$
su qualche dominio compatto $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. Ovviamente questo sistema lo ha sempre fatto$u = 0$come soluzione; la mia domanda è che tipo di condizioni sui coefficienti$f^i(x)$ e $c(x)$ sono sufficienti per garantire che la soluzione zero sia unica subordinatamente alla condizione al contorno $u|_{\partial \Omega} = 0$.
So che la buona posizione delle PDE di primo ordine viene solitamente studiata tramite il metodo delle caratteristiche, ma da quanto ho capito è tipicamente utile pensare alla PDE come un problema di valore iniziale in cui le condizioni al contorno sono specificate su una superficie di valore iniziale e si è evoluto da lì. Perché qui sto trattando il sistema come un problema di Dirichlet, il problema disomogeneo$Lu = g$, $u|_{\partial \Omega} = h$in generale può non essere ben posato; ma va bene perché mi interessa solo l'unicità della soluzione zero al problema omogeneo.
Ho un risultato parziale di Oleinik e Radkevic (https://www.springer.com/gp/book/9781468489675), che considerano PDE lineari del secondo ordine con forma caratteristica non negativa, di cui l'equazione che ho dato sopra è un caso speciale (poiché la sua forma caratteristica è identicamente zero). Quindi, ad esempio dal Teorema 1.6.2 di questo libro, posso concludere che la soluzione zero è unica se$c^* < 0$ in $\Omega \cup \partial \Omega$, dove $c^* \equiv c - \sum_{i = 1}^d \partial_i f^i$ è il termine derivato zero dell'aggiunto $L^*$ di $L$. Ma perché l'operatore$L$ Mi interessa è davvero un operatore di primo ordine, pur essendo la condizione $c^* < 0$ deriva dal considerare gli operatori di secondo ordine, immagino che debbano esserci condizioni sufficienti molto più generali per l'unicità della soluzione zero rispetto al semplice $c^* < 0$.
Risposte
Il metodo delle caratteristiche sembra il modo giusto per risolvere questo problema. Lungo sentieri che soddisfano${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$, si trova $u(\vec{x}(t))$ si evolve secondo ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. Se il percorso termina in$\partial\Omega$, poi $u(x) = 0$lungo tutto il percorso. Questo porta alla nostra prima condizione necessaria per l'esistenza di una soluzione diversa da zero:
(1) $\exists$ sentiero $\vec{x}(t)$ soddisfacente ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ con origine e capolinea (limiti come $t \rightarrow \pm\infty$) all'interno di $\Omega$.
Per un continuo $u(\vec{x})$, il valore di $u(\vec{x}(t))$ non può divergere quando $t \rightarrow \pm\infty$. Ad eccezione di un insieme di misura zero, tutti i percorsi$\vec{x}(t)$iniziare da un repulsore e finire in un attrattore (piuttosto che, diciamo, un punto di sella). Altre due condizioni necessarie per l'esistenza di una soluzione diversa da zero sono quindi:
(2) $c < 0$ a $\vec{x}(-\infty)$
(3) $c > 0$ a $\vec{x}(+\infty)$
Ad eccezione di un insieme di misura zero, possiamo probabilmente presumere che queste disuguaglianze siano strette, cioè $c < 0$ e $c > 0$, rispettivamente (la convergenza è possibile per $c = 0$ma non garantito, a seconda dei termini derivati). Con le rigide disuguaglianze, le condizioni (1-3) sono sufficienti anche per soluzioni diverse da zero$u(\vec{x})$esistere. Ciò può essere visto come segue:
A partire da un punto $\vec{x}_0$ lungo il cammino $\vec{x}(t)$, definire una taglia-$\epsilon$ sezione trasversale (ortogonale alle linee di flusso di ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$) e lo ipotizzi $u(\vec{x})$ varia uniformemente da $u(x_0) = 1$ per $u = 0$ai confini della sezione trasversale. Il valore di$u(\vec{x})$ lungo il "passato" e il "futuro" di questa sezione trasversale si ottiene propagando lungo le caratteristiche utilizzando ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. Tutte queste caratteristiche derivano dallo stesso repulsore (dove$u = 0$) e terminano allo stesso attrattore (anche dove $u = 0$). Compila il resto di$\Omega$ con la soluzione nulla $u = 0$. Così abbiamo costruito una soluzione a valore continuo diverso da zero per la PDE.
Ci sono un mucchio di casi limite singolari in cui le condizioni necessarie e sufficienti non coincidono, cioè se $\lVert f \rVert = u = 0$ nello stesso punto (risolvibile riscalando $f$ e $u$), Se $\lVert f\rVert = 0$ su un sottoinsieme aperto di $\Omega$, Se $\lVert f\rVert = 0$ sul confine $\partial\Omega$, Se $c = 0$ a $\vec{x}(\pm\infty)$. Nello spazio delle possibili funzioni$(\vec{f}, u)$, questi casi singolari si verificano solo in un insieme di misura zero, quindi non sono molto interessanti. Quasi ovunque, le condizioni (1-3) sono sia necessarie che sufficienti.
In altre parole, possiamo dire (quasi ovunque) che la soluzione zero è unica se:
$\forall$ percorsi $\vec{x}(t)$ soddisfacente ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ con origine e capolinea all'interno di $\Omega$,
$c > 0$ a $\vec{x}(-\infty)$ o $c < 0$ a $\vec{x}(+\infty)$.
Tornando alle tue condizioni $c^* < 0$: Nota che $\partial_i f^i < 0$agli attrattori (questo vale sempre, indipendentemente dal fatto che si tratti di un nodo, ciclo limite, toroide, attrattore caotico, ecc.). Pertanto, se$c^* < 0$ sopra $\Omega$, ne consegue che $c = c^* + \partial_i f^i < 0$a tutti gli attrattori. Pertanto, la seconda condizione di cui sopra è sempre soddisfatta quando$c^* < 0$. La condizione di cui sopra è la condizione sufficiente (e necessaria) più generale per l'unicità (con gli avvertimenti sopra indicati).
Poiché qualsiasi sistema dinamico può essere rappresentato da${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ e i sistemi dinamici possono essere davvero, davvero complicati, la condizione generale può essere difficile da lavorare, quindi condizioni più specifiche come $c^* < 0$ potrebbe essere più utile.
Inoltre, definendo il valore di $c$è complicato quando l'attrattore / repulsore non è un punto. Prendere la media sui cicli limite è semplice, gli attrattori caotici lo sono meno (teoria ergodica).