Utilizzare funzioni di generazione per risolvere la relazione di ricorrenza non omogenea
Permettere $a_0=0, a_1=2,$ e $a_2=5$. Usa le funzioni di generazione per risolvere l'equazione di ricorrenza:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ per $n\geq0$.
Questo è un problema del libro di Applied Combinatorics. Sono davvero confuso sul contrasto$2^n$ parte della relazione di ricorrenza utilizzando le funzioni di generazione.
Modificare:
So di dover convertire la ricorrenza in serie e l'ho suddivisa, ma sto lottando per ottenerla in una forma corretta per fare frazioni parziali. Queste sono le equazioni che sono riuscito a ottenere.
Se lasciamo $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ essere la funzione generatrice di $a_n$ poi dopo i calcoli ho ottenuto:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
Dopo aver semplificato: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
Quindi, la decomposizione della frazione parziale è: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
Ho provato a inserire i valori, ma qualcosa non mi sembra corretto. Per favore fatemi sapere dove avrei sbagliato.
Risposte
Hai commesso un errore da qualche parte nella derivazione della funzione di generazione (difficile da dire dove dato che non hai incluso questa parte), ho
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} che risolve a \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Controlla la tua soluzione, si spera che tu possa finirla da qui.