Verifica la differenziabilità su $x=0$

Aug 19 2020

Quindi l'affermazione del problema su cui sto lavorando è

Trova l'integrale indefinito di $\exp(-|x|)$ riguardo a $x$.

Ho fornito una risposta di seguito, ma alla fine ho qualche domanda. Immagino che sia più facile se mostro prima il mio lavoro (in alternativa vai all'ultimo paragrafo per passare direttamente alla mia domanda).

La mia risposta \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}

Ho aggiunto $2$ sul lato destro del grafico da alle $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}

Ho aggiunto un grafico per visualizzare la discontinuità da rimuovere. A rigor di termini, non ho finito qui perché ho ancora bisogno di dimostrare che l'anti-derivato è differenziabile all'origine. Pertanto ho cercato di utilizzare la definizione di derivato, vale a dire

\ begin {equation *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {equation *}

ma non sono proprio sicuro che sia corretto:

Limite di sinistra

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}

Limite della mano destra

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}

da questo sembra aggiungere $2$non ha fatto davvero la differenza in questa prova di differenziabilità? Inoltre non mi sento bene con me stesso nell'usare Rule of L'hopital in una prova limite, ma non ho davvero nessun altro modo per continuare, quindi è il meglio che ho potuto inventare in questa situazione.

Risposte

2 Arthur Aug 19 2020 at 12:30

Aggiunta $2$aiuta molto nel calcolo dei limiti. Colpisce notevolmente il limite di sinistra. Guarda il numeratore$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ Qui, la sinistra $F$ usi $C_1$ e il diritto $F$ usi $C_2$, quindi questo numeratore non si avvicina $0$ a meno che non si aggiunga il file $2$.

Quanto a come evitare l'Hopital, dipende da come lo definisci $\exp$. In ogni caso, puoi notare che il tuo limite per la mano sinistra è effettivamente uguale alla derivata sul lato sinistro di$e^x$ a $x=0$(basta inserirlo nella definizione del derivato e vedere che si ottiene la stessa cosa). Allo stesso modo, il limite di destra è uguale alla derivata di destra di$-e^{-x}$ a $x=0$. Quindi, se sai già cosa sono questi due derivati, il gioco è fatto.

1 JoséCarlosSantos Aug 19 2020 at 12:26

Se non lo aggiungi $2$, la tua funzione non sarà nemmeno continua a $0$, e quindi non sarà differenziabile a quel punto. Se non lo metti$0$, la derivata sinistra in $0$ sarà$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$

1 YvesDaoust Aug 19 2020 at 12:42

A sinistra è l'antiderivativo

$$e^{x}+C_-$$ ea destra

$$-e^{-x}+C_+.$$

La continuità deve essere assicurata nel punto di incontro (perché è un antiderivativo), e $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ è obbligatorio.


Ora per positivo $h$

$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ e $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$così che se esiste il limite in RHS, esiste la derivata. E certamente esiste, in quanto è la giusta derivata dell'esponenziale negativo.

1 mathcounterexamples.net Aug 19 2020 at 12:24

$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ è una mappa continua in quanto è una composizione di mappa continua.

Pertanto, non è necessario verificare che esista la derivata del suo integrale indefinito. Esiste per il teorema fondamentale del calcolo.

L'uguaglianza

$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ che hai scritto non ha senso.

L'integrale indefinito è uno, non è diverso a sinistra ea destra di zero.

Quello che puoi scrivere è

$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$

E poi separa i casi $x<0$ e $x \ge 0$.