Verifica quando una funzione reale è continua in un intervallo in cui è monotona [chiuso]

Aug 18 2020

Stavo rivedendo per il mio esame Real Analysis 1 e ho trovato questo teorema:

Permettere$f : I \to \mathbb R$essere una funzione, dove$I\subseteq\mathbb R$è un intervallo. Supporre che$f$è monotono in$I$, allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  • $f$è continuo dentro$I$
  • $f(I)$è un intervallo

Ho quasi finito con questo esame ma non ho mai usato questa equivalenza in pratica, la mia domanda è: puoi farmi qualche esempio dove studiare l'immagine di un intervallo è più facile o più utile che controllare direttamente i limiti della funzione, per sapere quando una funzione è continua?

Risposte

QuantumSpace Aug 17 2020 at 23:37

Un modo per dimostrare che la funzione Cantor è continua è mostrare che non è decrescente e ha immagine$[0,1]$.